スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

空間的な伝搬粒子のクライン‐ゴルドン場の振幅の導出４

場の量子論


{ \displaystyle \begin{eqnarray} D(x-y)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{r}}}\\ &=&\frac{2\pi}{(2\pi)^3}\int_0^\infty dp\frac{p^2}{2E_{\bf{p}}}\frac{e^{ipr}-e^{-ipr}}{ipr}\\ &=&\frac{-i}{2(2\pi)^2r}\int_{-\infty}^\infty dp\frac{p e^{ipr}}{\sqrt{p^2+m^2}}. \end{eqnarray} }

「次に、 \rho=-ipとおいて、積分変数を pから \rhoに変換したときの、積分区間の変化を見てみましょう。 d\rho=-idp, id\rho=dpの関係から積分区間の変化は次のようになります」


{ \displaystyle \begin{eqnarray} \int_{-\infty}^\infty dp&=&i\int_{-\infty}^\infty d\rho\\ &=&i\int_{-\infty}^{-m} d\rho+i\int_{-m}^{m} d\rho+i\int_{m}^{\infty} d\rho \end{eqnarray} }

「ここで、 pは実数軸上の変数に対応し、 \rhoは虚数軸上の変数に対応します。図2.3から虚数軸の -mから mまでの間には、被積分関数が存在せず、この区間の積分はゼロとなるため、上式の第2項の寄与は無視できます」

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図2.3 空間的距離上の伝搬関数D(x-y)を評価するための積分路


{ \displaystyle \begin{eqnarray} \int_{-\infty}^\infty dp &=&i\int_{-\infty}^{-m} d\rho+i\int_{-m}^{m} d\rho+i\int_{m}^{\infty} d\rho\\ &=&i\int_{-\infty}^{-m} d\rho+i\int_{m}^{\infty} d\rho \end{eqnarray} }

「上式の第1項において、 \rho’=-\rhoと置換すると、 d\rho’=-d\rhoから、第１項は次のようになります」


{ \displaystyle \begin{eqnarray} \int_{-\infty}^\infty dp &=&i\int_{-\infty}^{-m} d\rho+i\int_{m}^{\infty} d\rho\\ &=&-i\int_{\infty}^{m} d\rho’+i\int_{m}^{\infty} d\rho\\ \end{eqnarray} }

「ここで、第１項の積分変数\rho'を \rhoに置き換えても一般性は失われないため、\rho'を \rhoに置換すると、次のようになります」


{ \displaystyle \begin{eqnarray} \int_{-\infty}^\infty dp &=&-i\int_{\infty}^{m} d\rho+i\int_{m}^{\infty} d\rho \end{eqnarray} }

「ところで、上式の第１項は、図2.3の虚数軸上を上から下に降りる積分路に対応し、第２項が下から上に登る積分路に対応します。第１項と第２項をまとめると、次のように簡単になります」


{ \displaystyle \begin{eqnarray} \int_{-\infty}^\infty dp &=&-i\int_{\infty}^{m} d\rho+i\int_{m}^{\infty} d\rho\\ &=&i\int_{m}^{\infty} d\rho+i\int_{m}^{\infty} d\rho\\ &=&2i\int_{m}^{\infty} d\rho \end{eqnarray} }

「したがって、積分区間を pから \rhoに変換したとき、積分区間が mから \inftyになり、 2iの係数がかかることに注意すると、 D(x-y)の積分は以下のようになります」


{ \displaystyle \begin{eqnarray} D(x-y)&=&\frac{-i}{2(2\pi)^2r}\int_{-\infty}^\infty dp\frac{p e^{ipr}}{\sqrt{p^2+m^2}}\\ &=&\frac{-i}{2(2\pi)^2r}\cdot2i\int_m^\infty d\rho\frac{i\rho e^{-\rho r}}{i\sqrt{\rho^2-m^2}}\\ &=&\frac{1}{4\pi^2r}\int_m^\infty d\rho\frac{\rho e^{-\rho r}}{\sqrt{\rho^2-m^2}} \end{eqnarray} }