空間的な伝搬粒子のクライン‐ゴルドン場の振幅の導出4
「次に、とおいて、積分変数を
から
に変換したときの、積分区間の変化を見てみましょう。
の関係から積分区間の変化は次のようになります」
「ここで、は実数軸上の変数に対応し、
は虚数軸上の変数に対応します。図2.3から虚数軸の
から
までの間には、被積分関数が存在せず、この区間の積分はゼロとなるため、上式の第2項の寄与は無視できます」
図2.3 空間的距離上の伝搬関数D(x-y)を評価するための積分路
「上式の第1項において、と置換すると、
から、第1項は次のようになります」
「ここで、第1項の積分変数を
に置き換えても一般性は失われないため、
を
に置換すると、次のようになります」
「ところで、上式の第1項は、図2.3の虚数軸上を上から下に降りる積分路に対応し、第2項が下から上に登る積分路に対応します。第1項と第2項をまとめると、次のように簡単になります」
「したがって、積分区間をから
に変換したとき、積分区間が
から
になり、
の係数がかかることに注意すると、
の積分は以下のようになります」