光速より遅い時間的領域の因果律 - スーパーサイエンスガール

「次に、光速よりも遅い時間的領域の因果律について考えてみます」

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「 $(x-y)^2>0$ の時間的領域内においては、 $x$ 点を始点として、 $y$ 点から $-y$ 点に連続的に回転することができません。なぜなら、 $x$ 点を始点として、 $y$ から $-y$ 点まで回転するには、上図に示すように、光円錐の外側の空間的領域を通る必要があるためです」

時間的領域内では、 $x$ 点を始点として、 $y$ 点から $-y$ 点に連続的に回転することができない

「それゆえ、時間的領域においては、 $(x-y)\rightarrow-(x-y)$ となる連続的なローレンツ変換が存在しないことが分かります。この場合、(2.51)式によって（幸運にも）振幅はゼロにはならず、 $x-y=0$ の特別な場合に、大体 $(e^{-imt}-e^{imt})$ となります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} D(x-y)&=& \frac{1}{4\pi^2}\int_0^\infty dp\frac{p^2}{\sqrt{p^2+m^2}}e^{-i\sqrt{p^2+m^2}t}\\ &=& \frac{1}{4\pi^2}\int_m^\infty dE\sqrt{E^2-m^2}e^{-iEt}\\ &\sim&_{t\rightarrow \infty} e^{-imt}. \end{eqnarray} }$
(2.51)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \big[\phi(x), \phi(y)\big] &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}} \int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\ &&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \times\big[( a_{\bf{p}}e^{-ip\cdot x}+ a_{\bf{p}}e^{ip\cdot x}), (a_{\bf{q}}e^{-iq\cdot y}+ a_{\bf{q}}e^{iq\cdot y})\big]\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}(e^{-ip\cdot (x-y)} -e^{ip\cdot (x-y)})\\ &=&D(x-y)-D(y-x). \end{eqnarray} }$
(2.53)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \big[\phi(x), \phi(y)\big]&=&D(x-y)-D(y-x)\\ &=&e^{-imt}-e^{imt}. \end{eqnarray} }$