複素クライン‐ゴルドン場の伝搬振幅の物理的意味

「第2.1節の終わりで示唆したように、クライン‐ゴルドン理論において、因果律が保たれることが分かりました。しかしながら、このメカニズムを適切に理解するために、粒子と反粒子の区別ができる複素クライン‐ゴルドン場（complex Klien-Gordon field）を含むように議論を拡張すべきです。場 $\varphi(x)$ を実数値と考えるより、複素数と考えることによってクライン‐ゴルドン理論に保存電荷を加えることができることは、(2.15)式の説明で言及しました」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \alpha\Delta\phi&=&i\alpha\phi;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\alpha\Delta\phi^*=-i\alpha\phi^* \end{eqnarray} }$
(2.15)

「複素スカラー場の理論が量子化されると（問題2.2を参照。問題2.2については後述します）、場 $\varphi(x)$ は正電荷の粒子を生成し、負電荷の粒子を消滅させます。一方、場 $\varphi^\dagger(x)$ は上と反対の操作を行います」

場 $\varphi(x)$ ：正電荷の粒子を生成し、負電荷の粒子を消滅させる
場 $\varphi^\dagger(x)$ ：正電荷の粒子を消滅させ、負電荷の粒子を生成する

「このように、場 $\varphi(x)$ と場 $\varphi^\dagger(x)$ とは異なる働きを持つため、交換子 $[\varphi(x), \varphi^\dagger(y)]$ はゼロでない寄与を有します。それゆえ、因果律が保たれるには、これらの寄与が光円錐の外側で絶妙に相殺する必要があります。これらの２つの寄与について、(2.53)式の２つの項（ただし電荷を有します）の時空間の解釈があります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \big[\phi(x), \phi(y)\big] &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}} \int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\ &&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \times\big[( a_{\bf{p}}e^{-ip\cdot x}+ a_{\bf{p}}^\dagger e^{ip\cdot x}), (a_{\bf{q}}e^{-iq\cdot y}+ a_{\bf{q}}^\dagger e^{iq\cdot y})\big]\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}(e^{-ip\cdot (x-y)} -e^{ip\cdot (x-y)})\\ &=&D(x-y)-D(y-x). \end{eqnarray} }$
(2.53)