クライン‐ゴルドン場の交換関係の変形２ - スーパーサイエンスガール

「一方、 $x^0 < y^0$ の場合は、全体の積分経路Cは、下図のように反時計回りになります」

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「このとき、積分経路Cは、極値 $z=E_{\bf{p}}$ を内部に含まないため、積分の値はゼロになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \langle 0\mid [\phi(x), \phi(y)]\mid 0\rangle&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\big(e^{-ip\cdot (x-y)}-e^{ip\cdot (x-y)}\big)\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} \bigg\{\frac{1}{2E_{\bf{p}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\bigg|_{p^0=E_{\bf{p}}}\\ &&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\frac{1}{-2E_{\bf{p}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\bigg|_{p^0=-E_{\bf{p}}}\bigg\}\\ &=&_{x^0>y^0}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\int\frac{dp^0}{2\pi i}\frac{-1}{p^2-m^2} e^{-ip\cdot (x-y)}. \end{eqnarray} }$
(2.54)

「それゆえ、(2.54)式の最後の行は、極 $z=\pm E_{\bf{p}}$ のまわりを回る積分を表すとともに、 $D_R(x-y)$ のように表すこともあります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} D_R(x-y)\equiv \theta(x^0-y^0)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle. \end{eqnarray} }$
(2.55)

「ここで、 $\theta(x)$ は、階段関数（step function）と呼ばれる関数であり、 $x\ge0$ のとき1、 $x<0$ のとき0となる関数です」

階段関数（step function）
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \theta(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & (x\ge1) \\ 0 & (x<0) \end{array} \right. \end{eqnarray} }$