時間順序積とは - スーパーサイエンスガール

「次に、(2.60)式について考察してみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} D_F(x-y)&=&\left\{ \begin{array}{l} D(x-y) & \textrm{for } x^0\textrm{ > }y^0 \\ D(y-x) & \textrm{for } x^0\textrm{ < }y^0 \\ \end{array} \right.\\ &=&\theta(x^0-y^0)\langle 0\mid \phi(x) \phi(y)\mid 0\rangle+\theta(y^0-x^0)\langle 0\mid \phi(y) \phi(x)\mid 0\rangle\\ &=&\langle0\mid T\phi(x)\phi(y)\mid0\rangle. \end{eqnarray} }$
(2.60)

「(2.60)式の最後の行は、第２行目の２項を１項にまとめたもので、Tは、『時間順序（time-ordering）積』のTを表しています。このTは、左側の項が最も新しい時間になるように演算子を配置することを表します」

時間順序（time-ordering）積T：左側の項が最も新しい時間になるように演算子を配置する
例：（過去→ $x_0{<}y_0{<}z_0$ →未来のとき)　 $T(\phi(x) \phi(y)\phi(z))=\phi(z)\phi(y)\phi(x)$

「また、(2.60)式の最後の行に $(\partial^2+m^2)$ を適用することによって、 $D_F$ がクライン‐ゴルドン演算子のグリーン関数であることを直接確かめることができます。これは(2.56)式を導いたのと同様の計算で導くことができます」
　そういって、越野さんはマーカーペンを手にとった。

$\langle0\mid T\phi(x)\phi(y)\mid0\rangle$ の第１項の計算
${ \displaystyle \begin{eqnarray} &&(\partial^2+m^2)\theta(x^0-y^0)\langle 0\mid \phi(x) \phi(y)\mid 0\rangle\\ &=&\big(\partial^2\theta(x^0-y^0)\big)\langle 0\mid \phi(x) \phi(y)\mid 0\rangle+2\big(\partial_\mu\theta(x^0-y^0)\big)\big(\partial^\mu\langle 0\mid \phi(x) \phi(y)\mid 0\rangle\big)\\ &+&\theta(x^0-y^0)(\partial^2+m^2)\langle 0\mid \phi(x) \phi(y)\mid 0\rangle\\ &=&-\delta(x^0-y^0)\langle 0\mid \pi(x) \phi(y)\mid 0\rangle+2\delta(x^0-y^0)\langle 0\mid \pi(x) \phi(y)\mid 0\rangle+0\\ &=&\delta(x^0-y^0)\langle 0\mid \pi(x) \phi(y)\mid 0\rangle \end{eqnarray} }$

$\langle0\mid T\phi(x)\phi(y)\mid0\rangle$ の第２項の計算
${ \displaystyle \begin{eqnarray} &&(\partial^2+m^2)\theta(y^0-x^0)\langle 0\mid \phi(y) \phi(x)\mid 0\rangle\\ &=&\big(\partial^2\theta(y^0-x^0)\big)\langle 0\mid \phi(y) \phi(x)\mid 0\rangle+2\big(\partial_\mu\theta(y^0-x^0)\big)\big(\partial^\mu\langle 0\mid \phi(y) \phi(x)\mid 0\rangle\big)\\ &+&\theta(y^0-x^0)(\partial^2+m^2)\langle 0\mid \phi(y) \phi(x)\mid 0\rangle\\ &=&\delta(y^0-x^0)\langle 0\mid \phi(y) \pi(x)\mid 0\rangle-2\delta(y^0-x^0)\langle 0\mid \phi(y) \pi(x)\mid 0\rangle+0\\ &=&-\delta(y^0-x^0)\langle 0\mid \phi(y) \pi(x)\mid 0\rangle \end{eqnarray} }$

$\langle0\mid T\phi(x)\phi(y)\mid0\rangle$ の第１項と第２項の和の計算
${ \displaystyle \begin{eqnarray} &&(\partial^2+m^2)\theta(x^0-y^0)\langle 0\mid \phi(x) \phi(y)\mid 0\rangle+(\partial^2+m^2)\theta(y^0-x^0)\langle 0\mid \phi(y) \phi(x)\mid 0\rangle\\ &=&\delta(x^0-y^0)\langle 0\mid \pi(x) \phi(y)\mid 0\rangle-\delta(y^0-x^0)\langle 0\mid \phi(y) \pi(x)\mid 0\rangle\\ &=&\delta(x^0-y^0)\langle 0\mid [\pi(x),\phi(y)]\mid 0\rangle\,\,\,(\because\delta(x^0-y^0)= \delta(x^0-y^0))\\ &=&-i\delta^{(4)}(x-y). \end{eqnarray} }$

「以上の計算から、 $D_F$ がクライン‐ゴルドン演算子のグリーン関数であることが分かりました」