遅延グリーン関数を用いた運動方程式の解２

「ちょっと待って！」
　突然、一宮が待ったをかけた。
「そもそもどうして、(2.63)式の第１行目の式が成り立つのよ？」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi(x)&=&\phi_0(x)+i\int d^4y D_R(x-y)j(y)\\ &=&\phi_0(x)+i\int d^4y\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\theta(x^0-y^0)\times(e^{-ip\cdot(x-y)}-e^{ip\cdot(x-y)})j(y). \end{eqnarray} }$
(2.63)

「(2.63)式の第１行目ですが」と越野さんは言った。
「これは、(2.63)式の両辺に左側から $(\partial^2+m^2)$ を作用させることによって確認することができます」

(2.63)式の両辺に左側から $(\partial^2+m^2)$ を作用させる
${ \displaystyle \begin{eqnarray} (\partial^2+m^2)\phi(x)&=&(\partial^2+m^2)\phi_0(x)+i\int d^4y (\partial^2+m^2)D_R(x-y)j(y) \end{eqnarray} }$

「ここで、初期値においては、源である場 $j(x)$ がゼロなので、(2.61)式から初期の場 $\phi_0(x)$ が満たす式を導くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} (\partial^2+m^2)\phi(x)&=&j(x), \end{eqnarray} }$
(2.61)

(2.61)式において、 $j(x)$ をゼロとした場合
${ \displaystyle \begin{eqnarray} (\partial^2+m^2)\phi_0(x)=0 \end{eqnarray} }$

「また、 $D_R(x-y)$ については、以前導いた(2.56)式の関係が成り立ちます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} (\partial^2+m^2)D_R(x-y)&=&-i\delta^{(4)}(x-y). \end{eqnarray} }$
(2.56)

「これらの関係を上の $(\partial^2+m^2)\phi(x)$ の式に代入すると、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} (\partial^2+m^2)\phi(x)&=&(\partial^2+m^2)\phi_0(x)+i\int d^4y (\partial^2+m^2)D_R(x-y)j(y)\\ &=&0+i\int d^4y(-i\delta^{(4)}(x-y))j(y)\\ &=&\int d^4y\delta^{(4)}(x-y)j(y)\\ &=&j(x) \end{eqnarray} }$

「第３行目の $y$ の積分において、 $\delta^{(4)}(x-y)$ 関数が $x=y$ の場合のみ1となり、それ以外（ $x\neq y$ ）ではゼロになるという性質を用いました。これは(2.61)式の関係そのものであり、このことから、(2.63)式の第１行目の関係が成り立つことが分かります」