古典的な電磁気のラグラジアン密度 - スーパーサイエンスガール

問題2.1

「次に、テキストの演習問題を解いてみましょう。（源のない）古典的電磁気学は、以下の作用から導かれます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} S=\int d^4x\bigg(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\bigg),\,\,\,\,\,\, \textrm{ここで}\,\,\, F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu. \end{eqnarray} }$

「問題aとして、この作用のオイラー・ラグランジュ方程式としてマクスウェル方程式を導いてみましょう。ここで、ラグランジアン密度 $\mathcal{L}$ の作用積分Sは、次のように書くことができることは以前お話しました」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} S&=&\int \mathcal{L} dt=\int \mathcal{L}(\phi, \partial_\mu\phi)d^4x \end{eqnarray} }$
(2.1)

「それゆえ、上の作用Sのラグランジアン密度 $\mathcal{L}$ は、次のように書くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \end{eqnarray} }$

「このラグランジアン密度 $\mathcal{L}$ を場の運動を表すオイラー・ラグランジュ方程式に代入することで、運動方程式を導くことができます」

オイラー・ラグランジュ方程式（場の方程式）
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\mu\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\bigg)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}&=&0 \end{eqnarray} }$
(2.3)