スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

オイラー・ラグランジュ方程式からガウスの法則の導出

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\alpha\bigg( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\beta}&=&0^\beta\\ -\partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha\beta}-0^\beta&=&0^\beta\\ \partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha\beta}&=&0^\beta \end{eqnarray} }$

「次に、 $\beta=0$ とした場合の上の運動方程式 $\partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha\beta}=0^\beta$ の具体的な形を見てみましょう」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha0}&=&\partial_0\mathcal{F}^{00}+\partial_i\mathcal{F}^{i0}=0 \end{eqnarray} }$

「 $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ から、 $F_{00}=\partial_0 A_0-\partial_0 A_0=0$ であり、また、 $E^i=-F^{0i}=F^{i0}$ から、上の運動方程式は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_0\mathcal{F}^{00}+\partial_i\mathcal{F}^{i0}&=&0\\ \partial_iE^i&=&0 \end{eqnarray} }$

「これは、電荷密度がないときのガウスの法則 $\nabla\cdot{\bf{E}}=0$ に他なりません」

電荷密度がないときのガウスの法則： $\nabla\cdot{\bf{E}}=0$