エネルギー・運動量テンソルを対称的にする方法2

${ \displaystyle \begin{eqnarray} T^{\mu\nu}&=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}\partial^\nu A_\lambda-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}. \end{eqnarray} }$

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{\mu\nu}=T^{\mu\nu}+\partial_\lambda K^{\lambda\mu\nu} \end{eqnarray} }$

「次に、上のようにエネルギー・運動量テンソル $T^{\mu\nu}$ に $\partial_\lambda K^{\lambda\mu\nu}$ を加えて定義しなおした $\hat{T}^{\mu\nu}$ は、 $K^{\lambda\mu\nu}=F^{\mu\lambda}A^{\nu}$ としたとき、対称的なエネルギー・運動量テンソルTを生じ、電磁気のエネルギーおよび運動量密度の標準形式を生じることを示したいと思います」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{\mu\nu}&=&T^{\mu\nu}+\partial_\lambda K^{\lambda\mu\nu}\\ &=&T^{\mu\nu}+\partial_\lambda (F^{\mu\lambda}A^{\nu})\\ &=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}\partial^\nu A_\lambda-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}+\partial_\lambda (F^{\mu\lambda}A^{\nu}) \end{eqnarray} }$

「ここで、第２項 $\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}$ は添字 $\mu, \nu$ に対して明らかに対称的なので、残りの項の対称性について考えてみます。まず、積の微分法則 $\partial(uv)=u\partial(v)+v\partial(u)$ を用いて、第３項を展開してみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\lambda (F^{\mu\lambda}A^{\nu})=\partial_\lambda (F^{\mu\lambda})A^{\nu}+F^{\mu\lambda}\partial_\lambda (A^{\nu}) \end{eqnarray} }$

「上式の右辺第１項の $\partial_\lambda (F^{\mu\lambda})$ は、前回の問題2.1で導いた式 $\partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha\beta}=0^\beta$ と $-\mathcal{F}^{\alpha\beta}=\mathcal{F}^{\beta\alpha}$ の関係からゼロになることがわかります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha\beta}&=&0^\beta\rightarrow-\partial_\alpha\mathcal{F}^{\beta\alpha}&=&0^\beta\rightarrow \partial_\lambda (F^{\mu\lambda})=0^\beta(\alpha\rightarrow\lambda, \beta\rightarrow\mu) \end{eqnarray} }$

「したがって、 $\hat{T}^{\mu\nu}$ の式は、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{\mu\nu}&=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}\partial^\nu A_\lambda+F^{\mu\lambda}\partial_\lambda A^{\nu}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\ &=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}\partial^\nu A_\lambda-F^{\lambda\mu}\partial_\lambda A^{\nu}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\ &=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}(\partial^\nu A_\lambda-\partial_\lambda A^{\nu})-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\ &=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}F^\nu_{\,\,\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu} \end{eqnarray} }$