エネルギー・運動量テンソルの式から電磁気エネルギーの式の導出

「最後に、エネルギー・運動量テンソルの式から電磁気エネルギーの標準式を導いてみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{\mu\nu} &=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}F^\nu_{\,\,\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu} \end{eqnarray} }$

「ここで、エネルギー・運動量テンソルのうち、時間変換に関係した保存チャージ $T^{00}$ は、ハミルトニアン $\mathcal{H}$ 、すなわちエネルギーとなることを思い出してください」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H=\int T^{00}d^3x=\int \mathcal{H}d^3 x. \end{eqnarray} }$
(2.18)

「そこで、 $\mu=\nu=0$ として、エネルギー・運動量テンソルを計算してみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{00} &=&\mathcal{F}^{\lambda0}F^0_{\,\,\lambda}-\mathcal{L}\delta^{00}\\ &=&\mathcal{F}^{i0}F^0_{\,\,i}-\mathcal{L}\\ &=&-\mathcal{F}^{0i}F^0_{\,\,i}-\mathcal{L}\\ \end{eqnarray} }$

「ここで、 $\delta^{00}=1$ および $-\mathcal{F}^{\alpha\beta}=\mathcal{F}^{\beta\alpha}$ の関係を用いました。さらに、 $E^i=-F^{0i}$ （または、 $E_i=F^{0}_{\,\, i}$ ）の関係を用いると、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{00} &=&-\mathcal{F}^{0i}F^0_{\,\,i}-\mathcal{L}\\ &=&E^i E_i-\mathcal{L}\\ &=&{E}^2-\mathcal{L} \end{eqnarray} }$