複素スカラー場のハミルトニアン - スーパーサイエンスガール

「次に、ハミルトニアンは、下の(2.5)式を用いて導くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H&=&\int d^3x[p({\bf{x}})\dot{\phi} ({\bf{x}})-\mathcal{L}]\equiv\int d^3x\mathcal{H}. \end{eqnarray} }$
(2.5)

「具体的には、(2.5)式の運動量 $p({\bf{x}})$ に相当するのが共役運動量密度 $\pi, \pi^*$ であるため、これを代入します」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H&=&\int d^3x(\pi\dot{\phi}+\pi^*\dot{\phi}^*-\mathcal{L}) \end{eqnarray} }$

「上の式に、前回導いたラグランジアン $\mathcal{L}$ を代入します」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}&=&\dot{\phi}^*\dot{\phi}-\nabla\phi^*\nabla\phi -m^2\phi^*\phi\\ \end{eqnarray} }$

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H&=&\int d^3x(\pi\dot{\phi}+\pi^*\dot{\phi}^*-\mathcal{L})\\ &=&\int d^3x(\pi\dot{\phi}+\pi^*\dot{\phi}^*-\dot{\phi}^*\dot{\phi}+\nabla\phi^*\nabla\phi +m^2\phi^*\phi) \end{eqnarray} }$

「ここで、 $\dot{\phi}=\pi^*, \dot{\phi}^*=\pi$ の関係に注意すると、上式は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H&=&\int d^3x(\pi\dot{\phi}+\pi^*\dot{\phi}^*-\dot{\phi}^*\dot{\phi}+\nabla\phi^*\nabla\phi +m^2\phi^*\phi)\\ &=&\int d^3x(\pi\pi^*+\pi^*\pi -\pi\pi^*+\nabla\phi^*\nabla\phi +m^2\phi^*\phi)\\ &=&\int d^3x(\pi^*\pi+\nabla\phi^*\nabla\phi +m^2\phi^*\phi) \end{eqnarray} }$

「これが複素スカラー場のハミルトニアンとなります。以上が、問題2.2aの解答です」