複素スカラー場の正準交換関係の計算2 - スーパーサイエンスガール

「次に、被積分関数の括弧[ ]の中の計算をしてみましょう」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})] &=&\int\frac{d^3{\bf{p}}d^3{\bf{q}}}{(2\pi)^6}\frac{i}{2}\sqrt{\frac{E_{\bf{q}}}{E_{\bf{p}}}}\\ &\times&[a_{\bf{p}}, a_{\bf{q}}^\dagger ]e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}-[a_{\bf{p}},b_{\bf{q}}]e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}+{\bf{q}\cdot\bf{y}})}+ [b_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{q}}^\dagger ]e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}+{\bf{q}\cdot\bf{y}})}- [b_{\bf{p}}^\dagger, b_{\bf{q}}]e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}]\\ \,\,\, %%% \end{eqnarray} }$

「ここで、(2.29)式と同様に、生成・消滅演算子 $a_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{q}}$ の交換関係 $[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}'}^\dagger]$ および生成・消滅演算子 $b_{\bf{p}}^\dagger, b_{\bf{p}}$ の交換関係 $[b_{\bf{p}}, b_{\bf{p}'}^\dagger]$ が次のようになるものと定義します」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}'}^\dagger]&=&(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'}). \end{eqnarray} }$
(2.29)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [a_{\bf{p}}, a_{\bf{q}}^\dagger]&=&[b_{\bf{p}}, b_{\bf{q}}^\dagger] =(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}}). \end{eqnarray} }$

「一方、生成演算子同士の交換関係および消滅演算子同士の交換関係はゼロになるものとします」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [a_{\bf{p}}, a_{\bf{q}}]&=&[b_{\bf{p}}, b_{\bf{q}}] =[a_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{q}}^\dagger]=0\\ [a_{\bf{p}}, b_{\bf{q}}]&=&[a_{\bf{p}}^\dagger, b_{\bf{q}}^\dagger]=0 \end{eqnarray} }$

「そこで、これらの関係式を上式の $[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]$ に代入すると、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})] &=&\int\frac{d^3{\bf{p}}d^3{\bf{q}}}{(2\pi)^6}\frac{i}{2}\sqrt{\frac{E_{\bf{q}}}{E_{\bf{p}}}}\big\{ [a_{\bf{p}}, a_{\bf{q}}^\dagger ]e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}- [b_{\bf{p}}^\dagger, b_{\bf{q}} ]e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}\big\}\\ %%% &=&\int\frac{d^3{\bf{p}}d^3{\bf{q}}}{(2\pi)^6}\frac{i}{2}\sqrt{\frac{E_{\bf{q}}}{E_{\bf{p}}}}\big\{ (2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}+ (2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{q}}-{\bf{p}})e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}\big\}\\ %%% &=&\int\frac{d^3{\bf{p}}}{(2\pi)^3}\frac{i}{2}\big(e^{-i{\bf{p}}({\bf{x}}-{\bf{y}})}+e^{i{\bf{p}}({\bf{x}}-{\bf{y}})}\big)\\ %%% &=&\int\frac{d^3{\bf{p}}}{(2\pi)^3}\frac{i}{2}\big(e^{i{\bf{p}}({\bf{y}}-{\bf{x}})}+e^{i{\bf{p}}({\bf{x}}-{\bf{y}})}\big)\\ \end{eqnarray} }$

「ここで、デルタ関数のフーリエ変換の関係を使います」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i{\bf{p}(\bf{x}-\bf{y})}} &=&\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}}). \end{eqnarray} }$

「すると、複素スカラー場の正準交換関係の計算は結局、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})] &=&\int\frac{d^3{\bf{p}}}{(2\pi)^3}\frac{i}{2}\big(e^{i{\bf{p}}({\bf{y}}-{\bf{x}})}+e^{i{\bf{p}}({\bf{x}}-{\bf{y}})}\big)\\ %%% &=&\int\frac{1}{(2\pi)^3}\frac{i}{2}[(2\pi^3)\delta^{(3)}{\bf{p}}({\bf{y}}-{\bf{x}})+(2\pi^3)\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})]\\ &=&\frac{i}{2}2\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})\\ &=&i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}}) \end{eqnarray} }$