生成・消滅演算子で表した複素スカラー場のハミルトニアン3

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\ &\times&\big[ \big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}+m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}} e^{i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{q}})t} +b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{q}})t} \big) (2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})\\ &-&\big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}-m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{p}}+E_{\bf{q}})t} +b_{\bf{p}}a_{\bf{q}}^\dagger e^{i(E_{\bf{p}}+E_{\bf{q}})t} \big) (2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}+{\bf{q}})\big]\\ %%% \end{eqnarray} }$

「ここで、 $\delta^{(3)}({\bf{x}})$ は、 ${\bf{x}}=0$ のときに $\delta^{(3)}({\bf{x}})=1$ となり、それ以外の値では $\delta^{(3)}({\bf{x}})=0$ となるというデルタ関数の性質から、上式の第3行目は、 $\delta^{(3)}({\bf{p}}+{\bf{q}})$ から ${\bf{p}}+{\bf{q}}=0$ の値のみが残ることがわかります。これから、 ${\bf{p}}={-\bf{q}}$ の値を代入すると、第3行目のエネルギーの項は、 $E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}-m^2=E_{\bf{p}}^2-{\bf{p}}^2-m^2$ となります」

デルタ関数の性質
${ \displaystyle \delta^{(3)}({\bf{x}}) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & ({\bf{x}}=0) \\ 0 & ({\bf{x}}\neq0) \end{array} \right. }$

「一方、アインシュタインの関係式 $E^2=m^2c^4+p^2c^2=\hbar^2\omega_{\bf{p}}^2$ を $c=1, \hbar=1$ の自然単位系で表すと、 $E^2=m^2+p^2=\omega_{\bf{p}}^2$ となります。これから、 $E^2-p^2-m^2=0$ となりますが、これは上式の第3行目のエネルギーの項と同じ形をしています。したがって、上式の第3行目の項は消去でき、第2行目の項のみが残ります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H&=&\int d^3x(\dot{\phi}^*\dot{\phi}+\nabla\phi^*\nabla\phi +m^2\phi^*\phi)\\ &=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\ &\times&\big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}+m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}} e^{i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{q}})t} +b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{q}})t} \big) (2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}}) \end{eqnarray} }$

「また、デルタ関数 $\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})$ についても同様に、 ${\bf{p}}={\bf{q}}$ のときのみ値が残ることから、この関係を上式に代入すると、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H&=&\int d^3x(\dot{\phi}^*\dot{\phi}+\nabla\phi^*\nabla\phi +m^2\phi^*\phi)\\ &=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\ &\times&\big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}+m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}} e^{i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{q}})t} +b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{q}})t} \big) (2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})\\ %%% &=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\big(E_{\bf{p}}^2+({\bf{p}}^2+m^2)\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}+b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger\big) \\ %%% &=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\big(E_{\bf{p}}^2+ E_{\bf{p}}^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}+b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger\big) \\ %%% &=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}E_{\bf{p}} \big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}+b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger\big)\\ \end{eqnarray} }$