生成・消滅演算子で表した複素スカラー場の保存電荷1

「それでは、次に問題2.2cを解いてみましょう」

問題2.2c：保存電荷

${ \displaystyle \begin{eqnarray} Q&=&\int d^3x\frac{i}{2}(\phi^*\pi^*-\pi\phi) \end{eqnarray} }$

を生成・消滅演算子の観点で書き直し、それぞれの種類の粒子の電荷を評価せよ。

「まず、上の保存電荷の式を生成・消滅演算子の観点で記述するために、上式に複素スカラー場 $\phi, \phi^*$ およびその運動量密度 $\pi, \pi^*$ の式を代入します」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi(x)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi^2)}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}+b_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}})\\ %%% \phi^*(x)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi^2)}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}(b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}})\\ \end{eqnarray} }$

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \pi(x)&=&-i\int\frac{d^3p}{(2\pi^2)}\frac{2E_{\bf{p}}}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}(b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}-a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}})\\ %%% \pi^*(x)&=&-i\int\frac{d^3p}{(2\pi^2)}\frac{2E_{\bf{p}}}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}-b_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}})\\ \end{eqnarray} }$

${ \displaystyle \begin{eqnarray} Q&=&\int d^3x\frac{i}{2}(\phi^*\pi^*-\pi\phi)\\ &=&\frac{i}{2}\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\ &\times&\big[ (b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}})(-2iE_{\bf{q}})(a_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}}\cdot{\bf{x}}}-b_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}}\cdot{\bf{x}}})\\ &-&(-2iE_{\bf{p}})(b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}-a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}})(a_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}}\cdot{\bf{x}}}+b_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}}\cdot{\bf{x}}})\big]\\ %%% &=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\ &\times&\big[E_{\bf{q}}(b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}})(a_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}}\cdot{\bf{x}}}-b_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}}\cdot{\bf{x}}})\\ &-&E_{\bf{p}}(b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}-a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}})(a_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}}\cdot{\bf{x}}}+b_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}}\cdot{\bf{x}}})\big]\\ %%% &=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\ &\times&\big[(E_{\bf{q}}-E_{\bf{p}})(b_{\bf{p}}a_{\bf{q}}e^{-i({\bf{p}}+{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}-a_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{q}}^\dagger e^{i({\bf{p}}+{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}})\\ &+&(E_{\bf{q}}+E_{\bf{p}})(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}e^{i({\bf{p}}-{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}-b_{\bf{p}} b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i({\bf{p}}-{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}})\big] \end{eqnarray} }$