生成・消滅演算子で表した複素スカラー場の保存電荷3

${ \displaystyle \begin{eqnarray} Q&=&\int d^3x\frac{i}{2}(\phi^*\pi^*-\pi\phi)\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\ &\times&(E_{\bf{q}}+E_{\bf{p}})(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}e^{-i(E_{\bf{q}}-E_{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}-b_{\bf{p}} b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{q}}-E_{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}})(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}}) \end{eqnarray} }$

「次に、デルタ関数 $\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})$ についても同様に、 ${\bf{p}}={\bf{q}}$ のときのみ値が残ることから、この関係を上式に代入すると、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} Q&=&\int d^3x\frac{i}{2}(\phi^*\pi^*-\pi\phi)\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\ &\times&(E_{\bf{q}}+E_{\bf{p}})(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}e^{-i(E_{\bf{q}}-E_{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}-b_{\bf{p}} b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{q}}-E_{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}})(2\pi^3)\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}2E_{\bf{p}}(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}e^{-i(E_{\bf{p}}+E_{\bf{p}})\cdot{\bf{x}}}-b_{\bf{p}} b_{\bf{p}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{p}})\cdot{\bf{x}}})\\ &=&\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}-b_{\bf{p}} b_{\bf{p}}^\dagger)\\ \end{eqnarray} }$

「ここで、交換関係 $[ b_{\bf{p}}, b_{\bf{p}}^\dagger]= b_{\bf{p}}b_{\bf{p}}^\dagger- b_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{p}}$ から、 $b_{\bf{p}}b_{\bf{p}}^\dagger=[ b_{\bf{p}}, b_{\bf{p}}^\dagger]+ b_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{p}}$ となり、これを上式に代入すると、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} Q&=&\int d^3x\frac{i}{2}(\phi^*\pi^*-\pi\phi)\\ &=&\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}-b_{\bf{p}} b_{\bf{p}}^\dagger)\\ &=&\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}- b_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{p}}-[ b_{\bf{p}}, b_{\bf{p}}^\dagger])\ \end{eqnarray} }$

「最後の項は、定数、すなわち古典的なc数であり、ハミルトニアンの計算の場合と同様に、この定数項を無視すると、保存電荷 $Q$ の式は結局、次のようになることがわかります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} Q&=&\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}- b_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{p}}). \end{eqnarray} }$

「これから、２種類の生成・消滅演算子の積 $a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}$ 、 $b_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{p}}$ は、保存電荷に対して互いに逆符号で結ばれていることがわかります。これから、複素スカラー場のクライン‐ゴルドン場の理論から導かれた２種類の粒子は、同一のエネルギーEおよび質量mを有するだけでなく、互いに正反対の電荷を有することがわかります」