複素スカラー場の保存電荷1 - スーパーサイエンスガール

「それでは次に、問題2.2dを解いてみます」

問題2.2d：同一の質量を有する２つの複素クライン‐ゴルドン場の場合を考えよ。場を $\phi_a(x) (a=1,2)$ としなさい。いま、４つの保存電荷があり、１つは問題(c)の一般化によって与えられ、残りの３つは、次の式によって与えられることを示せ。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} Q&=&\int d^3x\frac{i}{2}(\phi_a^*(\sigma^i)_{ab}\pi_b^*-\pi_a(\sigma^i)_{ab}\phi_b) \end{eqnarray} }$

ここで、 $\sigma^i$ はパウリのシグマ行列である。これらの３つの電荷が角運動量（SU(2)）の交換関係を有することを示せ。これらの結果をnの同一の複素スカラー場の場合に一般化せよ。

「それでは、問題2.2dを解いていきましょう。クライン‐ゴルドン場に従う複素スカラー場 $\phi$ のラグランジアン $\mathcal{L}$ は、次のように書くことができることは以前お話しました」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}&=&\partial_\mu\phi^*\partial^\mu\phi-m^2\phi^*\phi. \end{eqnarray} }$

「それゆえ、同一の質量を有する２つの複素クライン‐ゴルドン場のラグランジアンは、添字 $a$ を使って次のように書くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}&=&\partial_\mu\phi_a^*\partial^\mu\phi_a-m^2\phi_a^*\phi_a. \end{eqnarray} }$

「このラグランジアンは、 $\theta$ を任意定数として、位相変換 $\phi_a\rightarrow e^{i\theta}\phi_a$ に対して不変となることがわかります。なぜなら、 $\phi_a, \phi_a^*$ とがペアで現れるため、指数関数 $e^{i\theta}$ と $e^{-i\theta}$ とが互いに相殺しあうためです」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi_a\phi_a^*&\rightarrow& (e^{i\theta}\phi_a)(e^{-i\theta}\phi_a^*)=\phi_a\phi_a^*\\ \partial_\mu\phi_a^*\partial^\mu\phi_a&\rightarrow&(e^{-i\theta}\partial^\mu\phi_a^*)(e^{i\theta}\partial^\mu\phi_a)=\partial_\mu\phi_a^*\partial^\mu\phi_a \end{eqnarray} }$