複素スカラー場の保存電荷3 - スーパーサイエンスガール

${ \displaystyle \begin{eqnarray} j^\mu(x)&=&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)}\Delta\phi_i+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i^*)}\Delta\phi _i^*\\ &=& i\phi_i \partial_\mu\phi_i^*- i\phi _i^*\partial_\mu\phi_i\\ &=& i(\phi_i \partial_\mu\phi_i^*- \phi _i^*\partial_\mu\phi_i) \end{eqnarray} }$

「複素スカラー場のネーター・カレントの式から、保存電荷であるネーター・チャージ（電荷）の式を導くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} Q\equiv\int_{\mathrm{all \, space}}j^0d^3x \end{eqnarray} }$
(2.13)

「ネーター・チャージQは、上の(2.13)式のように、ネーター・カレントの式の第0成分（時間成分）を全空間で積分した式となります。そこで、複素スカラー場のネーター・カレントの式を上の(2.13)式に代入することにより、保存電荷の式を導くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} Q&\equiv&\int_{\mathrm{all \, space}}j^0d^3x\\ &=& i\int (\phi_a \partial_0\phi_a^*- \phi _a^*\partial_0\phi_a) d^3x\\ &=& i\int (\phi_a \dot{\phi}_a^*- \phi _a^*\dot{\phi}_a) d^3x\\ &=& i\int (\phi_a \pi_a- \phi _a^*\pi_a^*) d^3x\\ \end{eqnarray} }$