スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

ユニタリ変換とは

${ \displaystyle \begin{eqnarray} Q&=&i\int (\phi_a \dot{\phi}_a^*- \phi _a^*\dot{\phi}_a) d^3x\\ &=&i\int (\phi_a \pi_a- \phi _a^*\pi_a^*) d^3x\\ \end{eqnarray} }$

「ところで、上の保存電荷（ネーター・チャージ）の式は、 $e^{i\gamma}$ （ $\gamma$ は実数）として、位相変換 $\phi_a\rightarrow e^{i\gamma}\phi_a=U\phi_a$ に対して不変となることがわかります。ここで、 $U=e^{i\gamma}$ は、一次元のユニタリ変換と見なすことができます」
「ユニタリ変換ってなによ？」
一宮が首を傾げた。
「ユニタリ変換は、ざっくりいえば、変換の前後で距離や角度を変えない変換です」

ユニタリ変換の性質１（等距離性）：
変換の前後で距離や角度を変えない

「なお、ここでいう等距離性とは、角度情報を含めた距離、すなわち、内積（スカラー積）の値を変えない性質を意味します」

等距離性：角度情報を含めた距離（内積）を変えない性質

「また、ユニタリ変換の定義には、もう１つ条件があって、ヒルベルト空間（無限次元までの実数空間または複素数空間）において、変換先の任意の空間要素に対し、必ず対応する変換元の空間要素が存在するという性質を有します」

ユニタリ変換の性質２（全射性）：
ヒルベルト空間（無限次元の実数空間または複素数空間）において、変換先の任意の空間要素に対し、必ず対応する変換元の空間要素が存在する

「ちなみに、ユニタリ変換のユニタリ（Unitary）には、『単位の、単一の』という意味があります」

ユニタリ（Unitary）：単位の、単一の

「単位？　どうして単位なのよ？」

「詳細は省きますが、ユニタリ変換を線形演算子 $U$ で表したとき、上の条件（１）は、 $U$ のエルミート共役を $U^\dagger$ 、 $1$ を恒等演算子として、 $U^\dagger U=1$ と表されます。また、上の条件（２）は、 $UU^\dagger=1$ と表されます」

ユニタリ変換の性質１（等距離性）： $U^\dagger U=1$
ユニタリ変換の性質２（全射性）： $UU^\dagger=1$

「このように、ユニタリ変換の性質には、恒等演算子1が現れます。この1がある意味、単位（unit）となるため、ユニタリ（unitary）変換という名称が付いたのだと思います」