クライン‐ゴルドン場の生成粒子数 - スーパーサイエンスガール

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \langle0\mid\mathcal{H}\mid0\rangle&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2}\mid\tilde{j}(p)\mid^2, \end{eqnarray} }$
(2.65)

「上の結果は、 $\mid\tilde{j}(p)\mid^2/2E_{\bf{p}}$ がモード $p$ の粒子を生成する確率密度と考えることによって、粒子の観点から解釈することができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\mid\tilde{j}(p)\mid^2}{2E_{\bf{p}}} \end{eqnarray} }$ ：モード $p$ の粒子を生成する確率密度

「どうして確率密度にエネルギー $E_{\bf{p}}$ が入っているのよ？」
　一宮が訊ねる。
「これは、ローレンツ不変性を満たすためです。相対論的な効果を考慮すると、確率密度の分母にエネルギー $E_{\bf{p}}$ が入ってくるのです。このとき、生成される全粒子数は、次の(2.66)式のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \int dN&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\mid\tilde{j}(p)\mid^2. \end{eqnarray} }$
(2.66)

「(2.66)式は、オンマスシェル（on-mass-shell）（すなわち、 $p^2=m^2$ が成り立つとき）のクライン‐ゴルドン波に共鳴する源の場 $j(x)$ のフーリエ成分のみが粒子の生成に効果的だということを表しています」

$p^2=m^2$ のクライン‐ゴルドン波に共鳴する源の場 $j(x)$ のフーリエ成分が粒子の生成に寄与する

「なお、テキストでは、問題4.1でこの問題について振り返り、また、第６章で加速電子によって生成された光子の類似の問題（制動放射）について研究するとのことです」