複素スカラー場の保存電荷2 - スーパーサイエンスガール

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}&=&\partial_\mu\phi_a^*\partial^\mu\phi_a-m^2\phi_a^*\phi_a. \end{eqnarray} }$

「このラグランジアンは、 $\theta$ を任意定数として、位相変換 $\phi_a\rightarrow e^{i\theta}\phi_a$ に対して不変となることがわかります。それゆえ、ネーターの定理から保存電流（ネーター・カレント）が存在することが分かります。そこで、(2.12)式に基づき、上のラグランジアンからネーター・カレントを導いてみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\mu j^\mu(x)=0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{for}\,\,\,\,\,\, j^\mu(x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi-\mathcal{J}^\mu \end{eqnarray} }$
(2.12)

「ここで、変換 $\phi_a\rightarrow e^{i\theta}\phi_a$ は、２種類の場 $\phi_a, \phi_a^*$ の変動によるものなので、(2.12)式において、２種類の場 $\phi_a, \phi_a^*$ からの寄与のみを考慮します」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} j^\mu(x)&=&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}\Delta\phi_a+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_a^*)}\Delta\phi _a^* \end{eqnarray} }$

「次に、 $\Delta\phi_a$ を求めるため、位相変換 $\phi_a\rightarrow e^{i\theta}\phi_a$ の位相 $\theta$ が微小量（ $\theta\ll 1$ ）だけ変化したときを想定して、一次の項までテーラー展開してみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} e^{i\theta}\phi_a&\simeq&(1+i\theta)\phi_a=\phi_a+i\theta\phi_a \end{eqnarray} }$

「また、このときの $\phi_a$ の変化量を $\phi_a\rightarrow\phi_a+\theta\Delta\phi_a$ として、上式と比較すると、 $\Delta\phi_a= i\phi_a$ となることが分かります。」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} e^{i\theta}\phi_a&\simeq&(1+i\theta)\phi_a=\phi_a+i\theta\phi_a\\ &=&\phi_a+\theta\Delta\phi_a \end{eqnarray} }$

「同様に、変換 $\phi_a^*\rightarrow e^{-i\theta}\phi_a^*$ を一次の項までテーラー展開すると、 $\Delta\phi_a^*=-i\phi_a^*$ が導けます。したがって、複素スカラー場のネーター・カレントの式は、次のようになることがわかります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} j^\mu(x)&=&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)}\Delta\phi_i+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i^*)}\Delta\phi _i^*\\ &=& i\phi_i \partial_\mu\phi_i^*- i\phi _i^*\partial_\mu\phi_i\\ &=& i(\phi_i \partial_\mu\phi_i^*- \phi _i^*\partial_\mu\phi_i) \end{eqnarray} }$