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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

S-演算子とS-行列

「始状態と終状態を定めたところで、次は散乱について考えましょう。散乱前の状態に作用して散乱後の状態に変化させる演算子 \hat{S}をS-演算子と呼びます。ここで、 \hat{S}は、ちょうど『S』が帽子(ハット)をかぶっているようにも見えるので『エスハット』と呼びます。また、S-演算子のSは、『散乱』をあらわす英語『Scattering』の頭文字をとったものであり、S-演算子 \hat{S}は『散乱演算子』という意味があります」

S-演算子\hat{S}:散乱前の状態に作用して散乱後の状態に変化させる散乱演算子

「例えば、散乱前の始状態 \mid i\,\rangleにS-演算子\hat{S}を作用させたとき、散乱後の状態は、 \hat{S}\mid i\,\rangleと書くことができます」

散乱前の始状態: \mid i\,\rangle
 ↓ S-演算子 \hat{S}を作用させる
散乱後の状態: \hat{S}\mid i\,\rangle

「このように、量子力学では、S-演算子 \hat{S}を用いて散乱を表現します。また、S-演算子 \hat{S}を終状態のブラ \langle\,\Phi_f\midと始状態のケット \mid \Phi_i\,\rangleではさんだものを、S-行列と呼びます」

S-行列: S_{f,i}=\langle\,\Phi_f\mid \hat{S} \mid \Phi_i\,\rangle

「ここで、記号 \Phiは、ギリシャ語で『ファイ』と呼び、アルファベットのFに相当します。Fは関数(function)の頭文字であることから、量子力学では、記号 \Phi波動関数をあらわす記号としてよく用いられます」

記号 \Phiギリシャ語で『ファイ』と呼び、ローマ字のFに相当する
 ↓
Fは関数(function)の頭文字であり、量子力学では \Phi波動関数を意味する記号としてよく用いられる

「なんで行列っていうのよ?」
「行列というのは、ひと言で言えば、複数の状態間の関係をあらわすものです」

行列:複数の状態間の関係をあらわすもの

「例えば、( \Phi_{i1},  \Phi_{i2})という2つの始状態が、( \Phi_{f1}, \Phi_{f2})という2つの終状態に変換された場合を想定すると、このような変換は、2行2列のS行列を用いて次のように書くことができます」

\begin{pmatrix} \Phi_{f1} \\ \Phi_{f2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} \\ S_{21} & S_{22}  \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \Phi_{i1} \\ \Phi_{i2} \end{pmatrix}

量子力学においては、粒子の本質は波であるため、1個の粒子であったとしても、その状態は1つではなく、通常、異なる複数の波の状態の重ね合わせとして表されます。散乱によって複数の状態が別の複数の状態に変換されるために、行列を用いるんです」

粒子の本質は波
 ↓
通常、異なる複数の波の重ね合わせとして表される
 ↓
散乱によって複数の波の状態が別の複数の波の状態に変換される
 ↓
行列を用いる

「散乱によって複数の波の状態間の関係をあらわすものだから、S(散乱)-行列っていうのね」