Heisenbergの運動方程式 - スーパーサイエンスガール

2.4 時空内のクライン-ゴルドン場

「前の節では、Schrodinger描像のクライン-ゴルドン場を量子化し、結果として生じた理論を相対論的粒子の観点から解釈しました。この節では、Heisenberg描像に切り換えて考えることにします」
「どうしてHeisenberg描像で考えるのよ？」
「Heisenberg描像で考えることによって、時間に依存した量および因果律の問題を議論することが容易になるためです。最初に、Heisenberg描像において、演算子 $\phi$ と $\pi$ を通常の方法で時間依存にします」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi(x)&=&\phi({\bf{x}},t)=e^{iHt}\phi({\bf{x}})e^{-iHt}. \end{eqnarray} }$
(2.43)

「なんで演算子の左右に $e^{iHt}$ 、 $e^{-iHt}$ がつくのよ？　どちらか片方だけでよくない？」
　一宮が首を傾げた。
「演算子の左右に $e^{iHt}$ 、 $e^{-iHt}$ がつくのには理由があります。例えば、任意の時刻tにおける状態ベクトル $\mid \phi(t)$ は、次のように書くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mid\phi(t)\rangle=e^{-iHt}\mid\phi(0)\rangle \end{eqnarray} }$

「ここで、Schrodinger表示の任意の演算子 $\mathcal{O}(0)$ を時刻tにおける任意の状態ベクトル $\mid\phi_1(t)\rangle$ と $\mid\phi_2(t)\rangle$ ではさんだ行列要素を求めると、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \langle\phi_1(t)\mid \mathcal{O}(0)\mid\phi_2(t)\rangle=\langle\phi_1(0)\mid e^{iHt} \mathcal{O}(0)e^{-iHt}\mid\phi_2(0)\rangle=\langle\phi_1(0)\mid \mathcal{O}(t)\mid\phi_2(0)\rangle \end{eqnarray} }$

「このとき、 $\mathcal{O}(t)=e^{iHt} \mathcal{O}(0)e^{-iHt}$ となって、演算子 $\mathcal{O}(0)$ が $e^{iHt}$ 、 $e^{-iHt}$ にはさまれた形になるのです。これが、演算子の左右に $e^{iHt}$ 、 $e^{-iHt}$ がつく理由です」
「なるほど。そういうわけね」
　一宮は納得するように頷いた。
「ここで、 $\mathcal{O}(t)=e^{iHt} \mathcal{O}(0)e^{-iHt}$ を時間tで微分してみましょう」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial\mathcal{O}(t)}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}e^{iHt} \mathcal{O}(0)e^{-iHt}=ie^{iHt} (H\mathcal{O}(0)-\mathcal{O}(0)H)e^{-iHt}=-i[\mathcal{O}(t), H] \end{eqnarray} }$