２粒子系の散乱の微分断面積の式 - スーパーサイエンスガール

散乱の微小確率： $d\Gamma=\frac{T|M|^2|{\bf{k}}|}{64\pi^2VE_pE_{p^\prime}(E_k+E_{k^\prime})}\delta(E_k+E_{k^\prime}-E_p-E_{p^\prime}) d(E_k+E_{k^\prime})d\Omega$

「ここで、デルタ関数は、 $E_k+E_{k^\prime}-E_p-E_{p^\prime}=0$ 、すなわち、 $E_k+E_{k^\prime}=E_p+E_{p^\prime}$ のときに1になり、それ以外では0になります。これは、衝突前の粒子のエネルギーの総和と、衝突後の粒子のエネルギーの総和が保存する場合を示しています。それゆえ、式は次のようになります」

散乱の微小確率： $d\Gamma=\frac{T|M|^2|{\bf{k}}|}{64\pi^2VE_pE_{p^\prime}(E_k+E_{k^\prime})}d\Omega$ （ただし、 $E_k+E_{k^\prime}=E_p+E_{p^\prime}$ ）

「ここでの目標は、微分断面積 $\frac{d\sigma}{d\Omega}$ を求めることなので、次に、散乱の微小確率 $d\Gamma$ と散乱の微小断面積 $d\sigma$ との関係を求めてみましょう。散乱確率 $\Gamma$ は、下図のように、全体積 $V$ 内に存在する入射粒子のうち、散乱断面積 $\sigma$ 内に入射する粒子の割合で表されます]

f:id:Dreistein:20141031050715p:plain

「上図においては、全体積 $V$ 内に存在する１４個の粒子のうち、８個の粒子が散乱断面積 $\sigma$ 内に入射するため、その散乱確率 $\Gamma$ は、8/14=4/7=0.57となります。ここで、入射粒子の密度を $n$ 、入射粒子の速度を $v$ とすると、時間 $T$ の間に散乱断面積 $\sigma$ 内に入射する粒子の数 $N_s$ は、 $N_s=nvT\sigma$ とかけます。一方、全体積 $V$ 内の入射粒子の数 $N_{total}$ は、 $N_{total}=nV$ とかけるため、結局、粒子の散乱確率 $\Gamma$ は、次のようになります」

$\Gamma=\frac{N_s}{N_{total}}=\frac{nvT\sigma}{nV}=\frac{vT\sigma}{V}$

「この問題の場合、電子 $e^-$ と陽電子 $e^+$ との間の散乱を考えているので、入射粒子の速度 $v$ は、陽電子 $e^+$ に対する電子 $e^-$ の相対速度と考えることができます。ここで、電子 $e^-$ の速度 $v_p$ は、電子 $e^-$ の運動量 $|\bf{p}|$ と電子 $e^-$ のエネルギー $E_p$ を用いて、次のようにかくことができます」

電子 $e^-$ の速度 $v_p=\frac{|\bf{p}|}{E_p}$

「ちょっと待ってよ！　どうして、運動量をエネルギーで割った値が、速度になるのよ？」
　一宮が突然憤慨するように言った。
「相対性理論によれば、粒子の速度 $v$ は、次のように表すことができます」

$v/c=\frac{p/mc}{\sqrt{1+(p/mc)^2}}=\frac{p}{\sqrt{(mc)^2+p^2}}=\frac{p}{E_p}$

「自然単位系では、 $c=1$ とみなせるので、結局、運動量 $p$ をエネルギー $E_p$ で割った値が速度になるのです。それゆえ、電子 $e^-$ の速度[v_p]および陽電子 $e^+$ の速度 $v_p^\prime$ は、次のように表すことができます」

電子 $e^-$ の速度 $v_p=\frac{|\bf{p}|}{E_p}$
陽電子 $e^+$ の速度 $v_{p^\prime}=-\frac{|\bf{p}|}{E_{p^\prime}}$

「結局、陽電子 $e^+$ に対する電子 $e^-$ の相対速度 $v_{rel}$ は、次のようになります」

$v_{rel}=v_p-v_{p^\prime}=\frac{|\bf{p}|}{E_p}+\frac{|\bf{p}|}{E_{p^\prime}}=\frac{E_p+E_{p^\prime}}{E_pE_{p^\prime}}|{\bf{p}}|$

「上式を、粒子の散乱確率 $\Gamma$ の式に代入すると、次のようになります」

$\Gamma=\frac{v_{rel}T\sigma}{V}=\frac{(E_p+E_{p^\prime})T\sigma}{E_pE_{p^\prime}V}|\bf{p}|$

「また、散乱の微小確率 $d\Gamma$ と微小断面積 $d\sigma$ との間にも同様の関係が成り立ちます」

$d\Gamma=\frac{v_{rel}T\sigma}{V}=\frac{(E_p+E_{p^\prime})Td\sigma}{E_pE_{p^\prime}V}|\bf{p}|$

「この式が、ブラケットの計算から求めた散乱の微小確率 $d\Gamma$ の式に等しいとおくことにより、微分断面積 $\frac{d\sigma}{d\Omega}$ の式を導くことができます」

散乱の微小確率：
$\begin{eqnarray} d\Gamma&=&\frac{T|M|^2|{\bf{k}}|}{64\pi^2VE_pE_{p^\prime}(E_k+E_{k^\prime})}d\Omega=\frac{(E_p+E_{p^\prime})Td\sigma}{E_pE_{p^\prime}V}|\bf{p}|\\ \therefore \frac{d\sigma}{d\Omega}&=&\frac{|M|^2|\bf{k}|}{64\pi^2(E_p+E_{p^\prime})(E_k+E_{k^\prime})|\bf{p}|} \end{eqnarray}$