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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場のハミルトニアン1

「次に、ハミルトニアンHを生成・消滅演算子a_{\bf{p}}^\dagger, b_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{p}}, b_{\bf{p}}に置き換えて計算してみます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}^{\dagger}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big),\\
%%%
\phi^*({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\big(a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big)
\end{eqnarray}
}


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x(\dot{\phi}^*\dot{\phi}+\nabla\phi^*\nabla\phi +m^2\phi^*\phi)\\
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big[ iE_{\bf{p}}\big(a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}-b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big)\cdot (-iE_{\bf{q}})\big(a_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{q}}^{\dagger}e^{i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}\big)\\
&+&i{\bf{p}}\big(a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}-b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big)\cdot (-i{\bf{q}})\big(a_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{q}}^{\dagger}e^{i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}\big)\\
&+&m^2\big(a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big)\big(a_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{q}}^{\dagger}e^{i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}\big)\big]\\
%%%
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big[ \big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}-b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big)\big(a_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{q}}^{\dagger}e^{i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}\big)\\
&+&m^2\big(a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big)\big(a_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{q}}^{\dagger}e^{i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}\big)\big]\\
%%%
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big[ \big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}+m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}e^{i({\bf{p}}-{\bf{q}}\cdot{\bf{x}})}+b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i({\bf{p}}-{\bf{q}}\cdot{\bf{x}})}\big)\\
&-&\big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}-m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{q}}^\dagger e^{i({\bf{p}}+{\bf{q}}\cdot{\bf{x}})}+b_{\bf{p}}a_{\bf{q}}^\dagger e^{-i({\bf{p}}+{\bf{q}}\cdot{\bf{x}})}\big)\big]\\
\end{eqnarray}
}