クライン−ゴルドン場の全運動量演算子の計算

「ここで、調和振動子についてしたように、この理論のスペクトルを書くことができます。すべてのpに対して、 $a_p\mid 0>=0$ となる状態 $\mid 0>$ は、基底状態または真空状態であり、(2.31)式の無限大の定数を省略すると、エネルギーE=0となります。他のすべてのエネルギー固有状態は、生成演算子を $\mid0\rangle$ に作用させることによって構築することができます。一般に、状態 $a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}^\dagger\cdots\mid0\rangle$ は、エネルギー $E=\omega_p+\omega_q+\cdots$ をもったハミルトニアンの固有状態です。これらの状態は、スペクトルをすべて満たします」

$\mid 0>$ ：基底状態または真空状態（エネルギーE=0）
　↓ 生成演算子を順次 $\mid0\rangle$ に作用
状態 $a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}^\dagger\cdots\mid0\rangle$ （エネルギー $E=\omega_p+\omega_q+\cdots$ ）

「ハミルトニアンのスペクトルを見出した後は、その固有状態について解釈してみましょう」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} P^i=\int T^{0i}d^3x=-\int \pi\partial_i\phi d^3x, \end{eqnarray} }$
(2.19)

「(2.19)式から、全運動量演算子 ${\bf{P}}$ は次のように書けます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} {\bf{P}}=-\int d^3x\pi({\bf{x}})\nabla\phi({\bf{x}}) \end{eqnarray} }$

「ここで、(2.31)式を導いたのと同様の計算から、この全運動量演算子 ${\bf{P}}$ を計算してみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H}&=&\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\bigg\{-\frac{\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}{4} \big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\\ &+&\frac{-{\bf{p}}\cdot{\bf{p}}'+m^2}{4\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}} \big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}+a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\bigg\}\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\omega_{\bf{p}}\bigg(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}+\frac{1}{2}[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}}^\dagger]\bigg). \end{eqnarray} }$
(2.31)

「具体的な方針としては、上の全運動量演算子 ${\bf{P}}$ に(2.27)式および(2.28)式を代入します」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big) e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}; \end{eqnarray} }$
(2.27)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \pi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}(-i)\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{2}}\big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}. \end{eqnarray} }$
(2.28)

「ここで、 $\nabla e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}=i(p_x, p_y, p_z)e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}=i{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}$ となることから、(2.27)式の発散は、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \nabla\phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{i{\bf{p}}}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big) e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}; \end{eqnarray} }$

「これらの式を代入すると、全運動量演算子 ${\bf{P}}$ は次のように書けます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} {\bf{P}}&=&-\int d^3x\pi({\bf{x}})\nabla\phi({\bf{x}})\\ &=&-\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}{\bf{p}}'e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}} \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{\omega_{\bf{p}'}}} \big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}+a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\\ \end{eqnarray} }$

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クライン−ゴルドン場の全運動量演算子の計算