クライン−ゴルドン場の交換関係の導出１ - スーパーサイエンスガール

「時間が同時（ $x^0=y^0$ ）の場合は、次の(2.20)式により、交換関係がゼロになることは既に見ました」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]&=&i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}});\\ [\phi({\bf{x}}), \phi({\bf{y}})]&=&[\pi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]=0. \end{eqnarray} }$
(2.20)

「次に、任意の時刻を想定した、より一般的な計算をしてみましょう。(2.47)式から、一般的なクライン−ゴルドン場 $\phi({\bf{x}},t)$ の交換関係を計算することができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi(x, t)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{-ip\cdot x}+ a_{\bf{p}}^\dagger e^{ip\cdot x}\big)\mid_{p^0=E_{\bf{p}}};\\ \pi({\bf{\pi}},t)&=&\frac{\partial}{\partial t}\phi({\bf{x}}, t). \end{eqnarray} }$
(2.47)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \big[\phi(x), \phi(y)\big]=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}&\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}& \int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\ &\times&\big[( a_{\bf{p}}e^{-ip\cdot x}+ a_{\bf{p}}^\dagger e^{ip\cdot x}), (a_{\bf{q}}e^{-iq\cdot y}+ a_{\bf{q}}^\dagger e^{iq\cdot y})\big] \end{eqnarray} }$

「上式では、２×２の４つの生成・消滅演算子の交換関係の組み合わせが生じますが、このうち、生成演算子同士の交換関係は、 $[a_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{p}'}^\dagger]=0$ となり、また、消滅演算子同士の交換関係も、 $[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}'} ]=0$ となって消えるため、結局、生成演算子と消滅演算子を掛け合わせた２つの交換関係の組み合わせのみが残ります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \big[\phi(x), \phi(y)\big]=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}&\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}& \int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\ &\times&\big[( a_{\bf{p}}e^{-ip\cdot x}+ a_{\bf{p}}^\dagger e^{ip\cdot x}), (a_{\bf{q}}e^{-iq\cdot y}+ a_{\bf{q}}^\dagger e^{iq\cdot y})\big]\\ =\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}&\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}& \int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\ &\times&\bigg\{\big[ a_{\bf{p}}e^{-ip\cdot x}, a_{\bf{q}}^\dagger e^{iq\cdot y}\big]+\big[ a_{\bf{p}}^\dagger e^{ip\cdot x}, a_{\bf{q}}e^{-iq\cdot y}\big]\bigg\}\\ =\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}&\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}& \int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\ &\times&\bigg\{\big[ a_{\bf{p}}, a_{\bf{q}}^\dagger \big] e^{-ip\cdot x} e^{iq\cdot y}+\big[ a_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{q}}\big] e^{ip\cdot x}e^{-iq\cdot y}\bigg\}\\ \end{eqnarray} }$