ハミルトニアンと生成・消滅演算子との交換関係

「ところで、 $\phi(x)$ および $\pi(x)$ の時間依存性は、生成・消滅演算子の観点からより深く理解することができます。例えば、(2.32)式および $\omega_{\bf{p}}=E_{\bf{p}}$ の関係から、ハミルトニアンと消滅演算子との間には、次の関係が成り立ちます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [H, a_{\bf{p}^\dagger}]=\omega_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^\dagger;\,\,\,\,\, [H, a_{\bf{p}}]=-\omega_{\bf{p}}a_{\bf{p}}. \end{eqnarray} }$
(2.32)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [H, a_{\bf{p}}]&=&H a_{\bf{p}}- a_{\bf{p}}H=-E_{\bf{p}}a_{\bf{p}}\\ Ha_{\bf{p}}&=& a_{\bf{p}} (H-E_{\bf{p}}). \end{eqnarray} }$

「それゆえ、任意のnに対して、 $H^na_{\bf{p}}$ は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H^na_{\bf{p}}&=& H^{(n-1)} (Ha_{\bf{p}})\\ &=& H^{(n-1)} a_{\bf{p}} (H-E_{\bf{p}})\\ &=& H^{(n-2)} (Ha_{\bf{p}}) (H-E_{\bf{p}})\\ &=& H^{(n-2)} a_{\bf{p}} (H-E_{\bf{p}})^2\\ &\cdots&\\ &=& a_{\bf{p}} (H-E_{\bf{p}})^n. \end{eqnarray} }$