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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場のハミルトニアン2

「複素スカラー場のハミルトニアンを生成・消滅演算子で表すと、下のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x(\dot{\phi}^*\dot{\phi}+\nabla\phi^*\nabla\phi +m^2\phi^*\phi)\\
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big[ \big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}+m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}e^{i({\bf{p}}-{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}+b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i({\bf{p}}-{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}\big)\\
&-&\big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}-m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{q}}^\dagger e^{i({\bf{p}}+{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}+b_{\bf{p}}a_{\bf{q}}^\dagger e^{-i({\bf{p}}+{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}\big)\big]\\
\end{eqnarray}
}

「ここで、デルタ関数フーリエ積分表示の関係を使います」

デルタ関数フーリエ積分表示
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\int\frac{d^3x}{(2\pi)^3}e^{i({\bf{p}}-{\bf{q}})\cdot {\bf{x}}}=\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}}).
\end{eqnarray}
}

「すると、上式は次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x(\dot{\phi}^*\dot{\phi}+\nabla\phi^*\nabla\phi +m^2\phi^*\phi)\\
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big[ \big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}+m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}e^{i({\bf{p}}-{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}+b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i({\bf{p}}-{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}\big)\\
&-&\big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}-m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{q}}^\dagger e^{i({\bf{p}}+{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}+b_{\bf{p}}a_{\bf{q}}^\dagger e^{-i({\bf{p}}+{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}\big)\big]\\
%%%
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big[ \big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}+m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}} e^{i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{q}})t} +b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{q}})t} \big) (2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})\\
&-&\big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}-m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{p}}+E_{\bf{q}})t} +b_{\bf{p}}a_{\bf{q}}^\dagger e^{i(E_{\bf{p}}+E_{\bf{q}})t} \big) (2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}+{\bf{q}})\big]\\
%%%
\end{eqnarray}
}

「ここで、デルタ関数は原点に対して対称なので、\delta^{(3)}(-({\bf{p}}-{\bf{q}}))=\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})等の関係があることを用いました」