生成・消滅演算子で表した複素スカラー場のハミルトニアン4

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H&=&\int d^3x(\dot{\phi}^*\dot{\phi}+\nabla\phi^*\nabla\phi +m^2\phi^*\phi)\\ &=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}E_{\bf{p}} \big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}+b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger\big)\\ \end{eqnarray} }$

「次に、交換関係 $[ b_{\bf{p}}, b_{\bf{p}}^\dagger]= b_{\bf{p}}b_{\bf{p}}^\dagger- b_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{p}}$ から、 $b_{\bf{p}}b_{\bf{p}}^\dagger=[ b_{\bf{p}}, b_{\bf{p}}^\dagger]+ b_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{p}}$ となり、これを上式に代入すると、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}E_{\bf{p}} \big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}+b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger\big) \\ %%% &=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}E_{\bf{p}} \big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}+b_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{q}} +[ b_{\bf{p}}, b_{\bf{p}}^\dagger]\big). \end{eqnarray} }$

「最後の項 $[ b_{\bf{p}}, b_{\bf{p}}^\dagger]$ は、定数、すなわち古典的なc数であり、これは真空の零点エネルギーに相当します。そこで、この定数項を無視すると、ハミルトニアン $H$ は結局、次のようになることがわかります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H&=&\int d^3xE_{\bf{p}} \big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}+b_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{q}}\big). \end{eqnarray} }$

「ここで、２種類の生成・消滅演算子 $a_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{p}}$ 、 $b_{\bf{p}}^\dagger, b_{\bf{p}}$ に対して、共通のエネルギー $E_{\bf{p}}=\sqrt{m^2+{\bf{p}^2}}$ および質量 $m$ が用いられていることが分かります。これから、複素スカラー場のクライン‐ゴルドン場の理論から導かれる２種類の粒子は、同一のエネルギーEおよび質量mを有することがわかります」