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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場の保存電荷2


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
Q&=&\int d^3x\frac{i}{2}(\phi^*\pi^*-\pi\phi)\\
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big[(E_{\bf{q}}-E_{\bf{p}})(b_{\bf{p}}a_{\bf{q}}e^{-i({\bf{p}}+{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}-a_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{q}}^\dagger e^{i({\bf{p}}+{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}})\\
&+&(E_{\bf{q}}+E_{\bf{p}})(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}e^{-i({\bf{p}}-{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}-b_{\bf{p}} b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i({\bf{p}}-{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}})\big]
\end{eqnarray}
}

「ここで、ハミルトニアンの計算と同様に、デルタ関数フーリエ積分表示の関係を使います」

デルタ関数フーリエ積分表示
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\int\frac{d^3x}{(2\pi)^3}e^{i({\bf{p}}-{\bf{q}})\cdot {\bf{x}}}=\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}}).
\end{eqnarray}
}

「すると、上式は次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
Q&=&\int d^3x\frac{i}{2}(\phi^*\pi^*-\pi\phi)\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big[(E_{\bf{q}}-E_{\bf{p}})(b_{\bf{p}}a_{\bf{q}}e^{-i(E_{\bf{q}}+E_{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}-a_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{q}}^\dagger e^{i(E_{\bf{q}}+E_{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}})(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}+{\bf{q}})\\
&+&(E_{\bf{q}}+E_{\bf{p}})(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}e^{-i(E_{\bf{q}}-E_{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}-b_{\bf{p}} b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{q}}-E_{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}})(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})\big]
\end{eqnarray}
}

「ここで、デルタ関数\delta^{(3)}({\bf{p}}+{\bf{q}})について、 {\bf{p}}=-{\bf{q}}のときのみ値が残りますが、このとき E_{\bf{q}}-E_{\bf{p}}=E_{\bf{-p}}-E_{\bf{p}}=0となります」
「どうして、 E_{\bf{p}}と、 E_{-\bf{p}}とが等しいのよ?」
 一宮が疑問を口にした。
「これは、エネルギー E_{\bf{p}}=\hbar\omega_{\bf{p}}(自然単位系では、 E_{\bf{p}}=\omega_{\bf{p}})が {\bf{p}}の絶対値の2乗で定まるためです。これは、(2.22)式の関係から導かれます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\omega_{\bf{p}}=\sqrt{\mid{\bf{p}}\mid^2+m^2}.
\end{eqnarray}
}
(2.22)

「これは、粒子の運動エネルギーが粒子の運動の向きによらず、その運動の大きさのみに依存することからも明らかだと思います。したがって、保存電荷の式は、 (E_{\bf{q}}-E_{\bf{p}})を含む項が消去され、 (E_{\bf{q}}+E_{\bf{p}})を含む項が残るため、次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
Q&=&\int d^3x\frac{i}{2}(\phi^*\pi^*-\pi\phi)\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&(E_{\bf{q}}+E_{\bf{p}})(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}e^{-i(E_{\bf{q}}-E_{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}-b_{\bf{p}} b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{q}}-E_{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}})(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})
\end{eqnarray}
}