クライン−ゴルドン場のハミルトニアンの生成・消滅演算子による表現2

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H}&=&\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\bigg\{-\frac{\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}{4} \big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\\ &+&\frac{-{\bf{p}}\cdot{\bf{p}}'+m^2}{4\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}} \big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}+a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\bigg\}. \end{eqnarray} }$

「ここで、変数xについて積分してみます。変数xは、 $e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}$ にのみ含まれ、これはデルタ関数になります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \int d^3x e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}} &=&(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}+{\bf{p}'}). \end{eqnarray} }$

「デルタ関数 $\delta^{(3)}({\bf{p}}+{\bf{p}'})$ は、 ${\bf{p}}+{\bf{p}'}=0$ のとき、1となり、 ${\bf{p}}+{\bf{p}'}\neq0$ のとき0となる関数です。それゆえ、上で求めたハミルトニアン $\mathcal{H}$ の ${\bf{p}'}$ についての積分は、 ${\bf{p}}+{\bf{p}'}=0$ 、すなわち、 ${\bf{p}'}=-{\bf{p}}$ の場合のみ残り、それ意外は0になります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H}&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\bigg\{-\frac{\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{-\bf{p}}}}{4} \big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{-\bf{p}}-a_{\bf{p}}^{\dagger}\big)+\frac{p^2+m^2}{4\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{-\bf{p}}}} \big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{-\bf{p}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}\big)\bigg\}. \end{eqnarray} }$

「ここで、(2.22)式から、 $\omega_{\bf{p}}=\omega_{-\bf{p}}$ であることが分かります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \omega_{\bf{p}}=\sqrt{\mid{\bf{p}}\mid^2+m^2}. \end{eqnarray} }$
(2.22)

「また、アインシュタインの関係式 $E^2=m^2c^4+p^2c^2=\hbar^2\omega_{\bf{p}}^2$ を $c=1, \hbar=1$ の自然単位系で表すと、 $E^2=m^2+p^2=\omega_{\bf{p}}^2$ となるため、右辺の第２項の係数の分子は $p^2+m^2=\omega_{\bf{p}}^2$ となることがわかります。この関係式を代入すると、上のハミルトニアン $\mathcal{H}$ は、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H}&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\bigg\{-\frac{\omega_{\bf{p}}}{4} \big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{-\bf{p}}-a_{\bf{p}}^{\dagger}\big)+\frac{\omega_{\bf{p}}}{4} \big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{-\bf{p}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}\big)\bigg\}\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\cdot\frac{\omega_{\bf{p}}}{4}\bigg\{\big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}}^{\dagger}-a_{-\bf{p}}\big)+ \big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\bigg\} \end{eqnarray} }$