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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

クライン−ゴルドン場の全運動量演算子の計算2

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
{\bf{P}}&=&-\int d^3x\pi({\bf{x}})\nabla\phi({\bf{x}})\\
&=&-\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}{\bf{p}}'e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}
\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{\omega_{\bf{p}'}}}
\big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}+a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\\
\end{eqnarray}
}

「ここで、全運動量演算子 {\bf{P}}の各項を、指数関数をかけた項に展開すると、次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
{\bf{P}}&=&-\int d^3x\pi({\bf{x}})\nabla\phi({\bf{x}})\\
&=&-\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{\omega_{\bf{p}'}}}\\
&\cdot&\big({\bf{p}}'a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+{\bf{p}}'a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}-{\bf{p}}'a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}-{\bf{p}}'a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\big)\\
\end{eqnarray}
}

「また、 -{\bf{p}}\rightarrow{\bf{p}}''などの積分変数の置換によって、各項の {\bf{p}}または {\bf{p}'}の符号を適宜変換すると、次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
{\bf{P}}&=&-\int d^3x\pi({\bf{x}})\nabla\phi({\bf{x}})\\
&=&-\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{\omega_{\bf{p}'}}}\\
&\cdot&\big(-{\bf{p}}'a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}e^{i{({\bf{p}}-{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}-{\bf{p}}'a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{({\bf{p}}-{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}-{\bf{p}}'a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}e^{i{(-{\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}-{\bf{p}}'a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{(-{\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\big)\\
&=&\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{\omega_{\bf{p}'}}}\\
&\cdot&\big({\bf{p}}'a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}e^{i{({\bf{p}}-{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+{\bf{p}}'a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{({\bf{p}}-{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+{\bf{p}}'a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}e^{i{(-{\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+{\bf{p}}'a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{(-{\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\big)\\
\end{eqnarray}
}

「上式をxについて積分すると、デルタ関数が現れます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
{\bf{P}}&=&\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{\omega_{\bf{p}'}}}\\
&\cdot&\big({\bf{p}}'a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}e^{i{({\bf{p}}-{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+{\bf{p}}'a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{({\bf{p}}-{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+{\bf{p}}'a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}e^{i{(-{\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+{\bf{p}}'a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{(-{\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\big)\\
&=&\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^3}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{\omega_{\bf{p}'}}}\cdot\big({\bf{p}}'a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'})+{\bf{p}}'a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}^{\dagger}\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'})\\
&+&{\bf{p}}'a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}\delta^{(3)}(-{\bf{p}}+{\bf{p}'})+{\bf{p}}'a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\delta^{(3)}(-{\bf{p}}+{\bf{p}'})\big)\\
\end{eqnarray}
}

「次に、p'について積分すると、全運動量演算子 {\bf{P}}は、次のように簡単になります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
{\bf{P}}&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2}\big({\bf{p}}a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}}+{\bf{p}}a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}+{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}+{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)
\end{eqnarray}
}