「次に、上式をについて変形すると、次のようになります」 「このようにして得られたの式をフーリエ変換すると、次の(2.58)式が得られます」 (2.58) 「(2.58)式の積分は、４つの異なる積分経路によって評価されます。それら４つの積分経路のうち、(2.54)式で…

(2.54) 「ところで、以前求めた上の(2.54)式ですが、これはフーリエ変換によって導くこともできます。クライン‐ゴルドン演算子のグリーン関数の運動量空間における表示をフーリエ変換したものをとすると、次の(2.57)式のようになります」 (2.57) 「ここで、…

(2.55) (2.56) 「ところで、は、『クライン‐ゴルドン演算子のグリーン関数（Green function）』と呼ばれる関数です。上の(2.55)式において、が階段関数（で1、で0となる関数）で表されていることからも分かるように、は、でゼロとなるため、これは『遅延グリ…

「次に、下の式の交換関係を計算してみましょう」 「ここで、下の(2.20)式から、交換関係が成り立ちますが、交換関係の左右の項を入れ替えると符号が入れ替わります」 (2.20) 「上式においてとを入れ替えても一般性は失われず、また、デルタ関数の原点に関す…

「デルタ関数を試験関数とセットで取り扱うことによって、デルタ関数の微分の問題を、試験関数の微分の問題にすり替えることができます」 「ほんとにそんな小手先のテクニックで、デルタ関数の微分を計算できるの？」 胡散臭そうな目で一宮がいった。「そう…

「それで、超関数を使ってどうやってデルタ関数の微分を計算するのよ？」 一宮は胡散臭そうな目をしながら越野さんに訊ねた。 「デルタ関数の微分を計算するには、次のような超関数を考えます」 「ここで、微分の公式からがいえるので、これをからまで積分す…

「ここで、上式の１行目の右辺第１項の括弧（）内を計算するため、デルタ関数の微分を計算する必要があります」 「デルタ関数の微分？」 一宮は腑に落ちないような顔をして首を傾げた。 「でも、それってちょっとおかしくない。デルタ関数は下図のように、と…

「ここで、上の３行目の式は、の形を有するため、クライン‐ゴルドン方程式の関係からゼロになることがわかります」 クライン‐ゴルドン方程式 (2.7) 「それゆえ、は次のようになります」 「また、階段関数を微分するとデルタ関数になります」 階段関数の微分→…

(2.55) 「ここで、(2.55)式の量を理解するために、を計算してみましょう。ちなみに、この計算は、に(2.7)式のクライン‐ゴルドン方程式の演算子を作用させるのと同じ計算です」 クライン‐ゴルドン方程式 (2.7) 「最初に、(2.55)式に基づいて、を計算してみま…

「一方、の場合は、全体の積分経路Cは、下図のように反時計回りになります」「このとき、積分経路Cは、極値を内部に含まないため、積分の値はゼロになります」 (2.54) 「それゆえ、(2.54)式の最後の行は、極のまわりを回る積分を表すとともに、のように表す…

「次に、積分の被積分関数をとして、実際に、留数を求めてみましょう」 被積分関数 「は１位の極なので、留数は次の関係から求めることができます」 「として、上の関係式から留数を求めてみます」 「したがって、留数定理からの積分を求めることができます…

(2.54) 「ここで、複素平面上において、下図のようにの極を回避するような積分経路を考え、この積分経路に沿って積分変数の積分を行います」「の場合、下図に示されるように、下方から半円を描くように近づく閉じた積分経路Cが考えられ、この積分経路C内に２…

クライン‐ゴルドンプロパゲーター「次に、クライン‐ゴルドン場の交換関係についてもう少し調べてみることにします。この交換関係は数（古典的な数（classical number）。普通の数と考えるといいです）であるため、と書くことができます。なぜなら、を数とす…

(2.52) (2.53) 「ここで、第１項は、からへの粒子（または反粒子）の伝搬を表し、第２項は、からへの反粒子（または粒子）の伝搬を表すことは、前回お話しました」 ：からへの粒子（または反粒子）の伝搬を表す ：からへの反粒子（または粒子）の伝搬を表す …

「それで、結局のところ、超光速の粒子は存在するの？」 一宮が訊ねる。 「クライン‐ゴルドン場の理論によれば、超光速の粒子は存在することになります」 「ほんとなの？」 予想外の言葉に意表をつかれたように、一宮は押し黙った。 「本当です。実際、超光…

「第2.1節の終わりで示唆したように、クライン‐ゴルドン理論において、因果律が保たれることが分かりました。しかしながら、このメカニズムを適切に理解するために、粒子と反粒子の区別ができる複素クライン‐ゴルドン場（complex Klien-Gordon field）を含む…

「次に、光速よりも遅い時間的領域の因果律について考えてみます」「の時間的領域内においては、点を始点として、点から点に連続的に回転することができません。なぜなら、点を始点として、から点まで回転するには、上図に示すように、光円錐の外側の空間的…

(2.53) 「ここで、上の計算結果に基づいて、超光速の空間的領域の因果律について検討してみましょう。図2.4に示されるように、のとき、すなわち超光速の空間的領域内においては、（各項は独立にローレンツ不変であるため）第２項にとなるローレンツ変換を実…

「次に、生成・消滅演算子の交換関係(2.29)式から、の交換関係を導くことができます」 (2.29) 「この関係を代入すると、の交換関係は、次のようになります」 「なお、最後の行において、(2.50)式の関係を用いました」 (2.50) 「以上から、クライン−ゴルドン…

「時間が同時（）の場合は、次の(2.20)式により、交換関係がゼロになることは既に見ました」 (2.20) 「次に、任意の時刻を想定した、より一般的な計算をしてみましょう。(2.47)式から、一般的なクライン−ゴルドン場の交換関係を計算することができます」 (2.…

交換関係と不確定性との間の関係 １．交換関係がゼロでない→一方の量の測定によって、もう一方の量が不確定になる ２．交換関係がゼロ→ある測定は、他の測定に影響を与えない（不確定にならない） 「空間的な領域において場の交換関係がゼロでない場合、一方…

「ここで、測定を試みることができるもっとも簡単なものは場なので、交換関係を計算してみましょう。この交換関係がゼロになれば、ある測定は、他の測定に影響を与えることができません」 交換関係がゼロになる ↓ ある測定は、他の測定に影響を与えることが…

「時間的・空間的な伝搬粒子のクライン‐ゴルドン場の振幅が求まったので、これらの結果に基づいて、因果律について考察してみましょう」 (2.52) 「前回導いた(2.52)式から、空間的な領域、すなわち、光円錐の外側では、伝搬振幅が指数関数的に減衰しますが、…

反射的に後ろを振り向くと、俺の目と鼻の先に一人の小柄な少女が立っていた。 武者さんだった。 彼女が小脇に抱えているのがディラックの「量子力學」でなく、暗殺用の短剣なら、俺は彼女の気配に気づくこともなく死んでいただろう。 恐るべきステルス能力に…

「以上から、は、次式のようになることがわかりました」 「次に、この積分を評価してみましょう」 「ちょっと待って！」 突然、一宮が待ったをかけた。俺たちは一宮の顔を見た。 「上の積分経路って、ひょっとして虚数軸を通っているんじゃないの？」 「そう…

「次に、とおいて、積分変数をからに変換したときの、積分区間の変化を見てみましょう。の関係から積分区間の変化は次のようになります」 「ここで、は実数軸上の変数に対応し、は虚数軸上の変数に対応します。図2.3から虚数軸のからまでの間には、被積分関…

「次に、空間的なクライン‐ゴルドン場の伝搬粒子の振幅の具体的な値を計算してみましょう」 「上式の被積分関数を複素関数に拡張して考えると、図2.3に示されるように、から始まる虚軸上の分岐（ぶんき）（branch cut）を有します」 図2.3 空間的距離上の伝…

「次に、において、と変数変換すると、の関係が成り立ち、また、Einsteinの関係式からとなるため、次のように変形することができます」 「ここで、右辺の式において、と置き換えても一般性は失われないので、結局は、と置き換えることができます」 「この関…

「次に、体積積分を計算するために、直交座標系から極座標系への積分変換を行います」 直交座標系から極座標系への積分変換 「この積分変換により、は次のようになります」 「ここで、とおくと、から、次のようになります」

「次に、x-yが純粋に空間的な場合、すなわち、の場合を考えてみます。このとき、(2.50)式より振幅は次のようになります」 (2.50) 「ちょっと待ってよ！ どうして指数関数の肩の符号がマイナスじゃなくて、プラスになってるのよ！」 一宮が、もの問いたげな目…