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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

空間的な伝搬粒子のクライン‐ゴルドン場の振幅の導出2

「次に、体積積分を計算するために、直交座標系から極座標系への積分変換を行います」

直交座標系から極座標系への積分変換
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\int d^3p&=&2\pi\int_0^\infty p^2dp\int_0^\pi \sin{\theta}d\theta
\end{eqnarray}
}

「この積分変換により、 D(x-y)は次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
D(x-y)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{r}}}\\
&=&\frac{2\pi}{(2\pi)^3}\int_0^\infty dp\frac{p^2}{2E_{\bf{p}}}\int_0^\pi d\theta \sin{\theta}e^{ipr\cos{\theta}}
\end{eqnarray}
}

「ここで、 \cos{\theta}=\xiとおくと、 -\sin{\theta}d\theta=d\xiから、次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
D(x-y)&=&\frac{2\pi}{(2\pi)^3}\int_0^\infty dp\frac{p^2}{2E_{\bf{p}}}\int_0^\pi d\theta \sin{\theta}e^{ipr\cos{\theta}}\\
&=&\frac{2\pi}{(2\pi)^3}\int_0^\infty dp\frac{p^2}{2E_{\bf{p}}}\int_{-1}^1 d\xi e^{ipr\xi}\\
&=&\frac{2\pi}{(2\pi)^3}\int_0^\infty dp\frac{p^2}{2E_{\bf{p}}}\bigg[\frac{e^{ipr\xi}}{ipr}\bigg]_{-1}^1\\
&=&\frac{2\pi}{(2\pi)^3}\int_0^\infty dp\frac{p^2}{2E_{\bf{p}}}\frac{e^{ipr}-e^{-ipr}}{ipr}
\end{eqnarray}
}