p0積分の積分経路の４つのパターン - スーパーサイエンスガール

${ \displaystyle \begin{eqnarray} (-p^2+m^2)\tilde{D}_R(p)&=&-i. \end{eqnarray} }$

「次に、上式を $\tilde{D}_R(p)$ について変形すると、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \tilde{D}_R(p)=\frac{i}{(p^2-m^2)}. \end{eqnarray} }$

「このようにして得られた $\tilde{D}_R(p)$ の式をフーリエ変換すると、次の(2.58)式が得られます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} D_R(x-y)&=&\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{i}{p^2-m^2}e^{-ip\cdot(x-y)}. \end{eqnarray} }$
(2.58)

「(2.58)式の $p^0$ 積分は、４つの異なる積分経路によって評価されます。それら４つの積分経路のうち、(2.54)式で用いられているのは１つだけです」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \langle 0\mid [\phi(x), \phi(y)]\mid 0\rangle&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\big(e^{-ip\cdot (x-y)}-e^{ip\cdot (x-y)}\big)\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} \bigg\{\frac{1}{2E_{\bf{p}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\bigg|_{p^0=E_{\bf{p}}}\\ &&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\frac{1}{-2E_{\bf{p}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\bigg|_{p^0=-E_{\bf{p}}}\bigg\}\\ &=&_{x^0>y^0}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\int\frac{dp^0}{2\pi i}\frac{-1}{p^2-m^2} e^{-ip\cdot (x-y)}. \end{eqnarray} }$
(2.54)