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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

4次元運動量と質量の関係式


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi(x)&=&\phi_0(x)+i\int d^4y D_R(x-y)j(y)\\
&=&\phi_0(x)+i\int d^4y\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\theta(x^0-y^0)\times(e^{-ip\cdot(x-y)}-e^{ip\cdot(x-y)})j(y).
\end{eqnarray}
}
(2.63)

「次に、 jのすべてが十分過去になるまで待ったとします。このとき、 θ関数は、積分の全区間において1に等しくなるため、 \phi(x)は、 jフーリエ変換のみに関係します」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\tilde{j}(p)&=&\int d^4y e^{ip\cdot y}j(y),
\end{eqnarray}
}

「上式は、 p^2=m^2となる4元運動量pで評価されます」
「どうして、 p^2=m^2となるのよ? 運動量pと質量 mが同じなんて、意味不明だわ!」
 一宮はまるでわけが分からないといったように苦悩の表情を浮かべながら、両手を広げて天を仰いだ。

「これは、Einsteinの関係:  E^2={\bf{p}}^2c^2+m^2c^4から導くことができます。自然単位系では、 c=1となるため、Einsteinの関係式は E^2-{\bf{p}}^2=m^2となります」
「でも、エネルギー E^2が余分にあるじゃない! その上、 {\bf{p}}^2の符号と m^2の符号の関係が逆になるわよ!」
「いえ、これは4元運動量なので、エネルギー E^2と運動量 -{\bf{p}}^2を1つにまとめて、 p^2=p_\mu p^\mu=E^2-{\bf{p}}^2=m^2と書くのです」

4元運動量によるEinsteinの関係式の表現
 E^2={\bf{p}}^2c^2+m^2c^4
 ↓ 自然単位系( c=1
 E^2-{\bf{p}}^2=m^2
 ↓ 4元運動量による表記
 p^2=p_\mu p^\mu=E^2-{\bf{p}}^2=m^2

「だったら、最初からそういうふうに、注意書きを入れなさいよね! 紛らわしいじゃない!」

「量子場の理論では、4次元時空で考えるのが基本です。初学者は、往々にして古典的な3次元空間で物事を考えてしまって、『どつぼ』にはまってしまうことが多いので気をつけてください」