４次元運動量と質量の関係式 - スーパーサイエンスガール

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi(x)&=&\phi_0(x)+i\int d^4y D_R(x-y)j(y)\\ &=&\phi_0(x)+i\int d^4y\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\theta(x^0-y^0)\times(e^{-ip\cdot(x-y)}-e^{ip\cdot(x-y)})j(y). \end{eqnarray} }$
(2.63)

「次に、 $j$ のすべてが十分過去になるまで待ったとします。このとき、 $θ$ 関数は、積分の全区間において1に等しくなるため、 $\phi(x)$ は、 $j$ のフーリエ変換のみに関係します」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \tilde{j}(p)&=&\int d^4y e^{ip\cdot y}j(y), \end{eqnarray} }$

「上式は、 $p^2=m^2$ となる４元運動量 $p$ で評価されます」
「どうして、 $p^2=m^2$ となるのよ？　運動量 $p$ と質量 $m$ が同じなんて、意味不明だわ！」
　一宮はまるでわけが分からないといったように苦悩の表情を浮かべながら、両手を広げて天を仰いだ。

「これは、Einsteinの関係: $E^2={\bf{p}}^2c^2+m^2c^4$ から導くことができます。自然単位系では、 $c=1$ となるため、Einsteinの関係式は $E^2-{\bf{p}}^2=m^2$ となります」
「でも、エネルギー $E^2$ が余分にあるじゃない！　その上、 ${\bf{p}}^2$ の符号と $m^2$ の符号の関係が逆になるわよ！」
「いえ、これは４元運動量なので、エネルギー $E^2$ と運動量 $-{\bf{p}}^2$ を１つにまとめて、 $p^2=p_\mu p^\mu=E^2-{\bf{p}}^2=m^2$ と書くのです」