スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

オイラー・ラグランジュ方程式からマクスウェル方程式の導出４


{ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\,\,\,\,\,\, \textrm{ここで、}\,\,\, F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu. \end{eqnarray} }

「ここで、 F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\muから、添字\mu, \nuを入れ替えたとき」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} F_{\nu\mu}&=&\partial_\nu A_\mu-\partial_\mu A_\nu=-(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)=-F_{\mu\nu} \end{eqnarray} }

「となって、F_{\mu\nu}は、添字\mu, \nuの入れ替えに対して反対称となることが分かります。この関係を用いると、オイラー・ラグランジュ方程式の左辺第１項は次のようになります」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}&=&-\frac{1}{4}\frac{\partial\mathcal{(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\\ &=&-\frac{1}{2}\bigg(\mathcal{F}^{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg)\\ &=&-\frac{1}{2}\mathcal{F}^{\mu\nu}\big(\delta_{\mu\alpha}\delta_{\nu\beta}-\delta_{\nu\alpha}\delta_{\mu\beta}\big)\\ &=&-\frac{1}{2}\big(\mathcal{F}^{\alpha\beta}-\mathcal{F}^{\beta\alpha}\big)\\ &=&-\frac{1}{2}\big(\mathcal{F}^{\alpha\beta}+\mathcal{F}^{\alpha\beta}\big)\\ &=&-\mathcal{F}^{\alpha\beta}=\mathcal{F}^{\beta\alpha} \end{eqnarray} }

「以上をまとめると、オイラー・ラグランジュ方程式は次のようになります」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\alpha\bigg( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\beta}&=&0^\beta\\ -\partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha\beta}-0^\beta&=&0^\beta\\ \partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha\beta}&=&0^\beta \end{eqnarray} }