レヴィ=チヴィタの完全反対称テンソルとは - スーパーサイエンスガール

「次に、 $\beta=i$ とした場合の上の運動方程式 $\partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha\beta}=0^\beta$ の具体的な形を見てみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha i}&=&\partial_0\mathcal{F}^{0i}+\partial_j\mathcal{F}^{ji}=0^i \end{eqnarray} }$

「ここで、 $E^i=-F^{0i}$ および $\epsilon^{ijk}B^k=-F^{ij}=F^{ji}$ とすると、上の運動方程式は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha i}=\partial_0\mathcal{F}^{0i}+\partial_j\mathcal{F}^{ji}&=&0^i\\ {-\partial_0}E^i+\partial_j\epsilon^{ijk}B^k&=&0^i\\ \dot{E}^i&=&\partial_j\epsilon^{ijk}B^k \end{eqnarray} }$

「 $\epsilon_{ijk}$ って何よ？」
「 $\epsilon_{ijk}$ は、レヴィ=チヴィタの完全反対称テンソルと呼ばれ、次のように定義されます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}=\left\{ \begin{array}{ll} 1 & ({(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)}) \\ {-1} & ({(i,j,k)=(1,3,2),(3,2,1),(2,1,3)}) \\ 0 & (上記以外) \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} }$

「 $(i, j, k)$ が $1\rightarrow 2\rightarrow 3\rightarrow 1\rightarrow\cdots$ の順の組み合わせからなる場合は1、また、 $1\rightarrow 3\rightarrow 2\rightarrow 1\rightarrow\cdots$ の順の組み合わせからなる場合は-1、それ以外の組み合わせからなる場合は0となります。このレヴィ=チヴィタの完全反対称テンソルを用いると、ベクトル ${\bf{a}}=(a_x, a_y, a_z), {\bf{b}}=(b_x, b_y, b_z)$ の外積は、次のように表されます」