2015-08-28

レヴィ=チヴィタの完全反対称テンソルとは

「次に、 $\beta=i$ とした場合の上の運動方程式 $\partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha\beta}=0^\beta$ の具体的な形を見てみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha i}&=&\partial_0\mathcal{F}^{0i}+\partial_j\mathcal{F}^{ji}=0^i \end{eqnarray} }$

「ここで、 $E^i=-F^{0i}$ および $\epsilon^{ijk}B^k=-F^{ij}=F^{ji}$ とすると、上の運動方程式は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha i}=\partial_0\mathcal{F}^{0i}+\partial_j\mathcal{F}^{ji}&=&0^i\\ {-\partial_0}E^i+\partial_j\epsilon^{ijk}B^k&=&0^i\\ \dot{E}^i&=&\partial_j\epsilon^{ijk}B^k \end{eqnarray} }$

「 $\epsilon_{ijk}$ って何よ？」
「 $\epsilon_{ijk}$ は、レヴィ=チヴィタの完全反対称テンソルと呼ばれ、次のように定義されます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}=\left\{ \begin{array}{ll} 1 & ({(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)}) \\ {-1} & ({(i,j,k)=(1,3,2),(3,2,1),(2,1,3)}) \\ 0 & (上記以外) \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} }$

「 $(i, j, k)$ が $1\rightarrow 2\rightarrow 3\rightarrow 1\rightarrow\cdots$ の順の組み合わせからなる場合は1、また、 $1\rightarrow 3\rightarrow 2\rightarrow 1\rightarrow\cdots$ の順の組み合わせからなる場合は-1、それ以外の組み合わせからなる場合は0となります。このレヴィ=チヴィタの完全反対称テンソルを用いると、ベクトル ${\bf{a}}=(a_x, a_y, a_z), {\bf{b}}=(b_x, b_y, b_z)$ の外積は、次のように表されます」

ベクトル ${\bf{a}}=(a_x, a_y, a_z), {\bf{b}}=(b_x, b_y, b_z)$ の外積
$({\bf{a}}\times{\bf{b}})_i=\Sigma_{j, k}\epsilon_{ijk}a_jb_k$

「これから、 $a_j=\partial_j, b_k=B_k$ とおくと、 $\dot{E}^i=\partial_j\epsilon^{ijk}B^k=(\nabla\times{\bf{B}})^i$ となることがわかります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \dot{\bf{E}}=(\nabla\times{\bf{B}}) \end{eqnarray} }$

「これはマクスウェル方程式のファラデーの法則そのものです」

2015-08-27

オイラー・ラグランジュ方程式からガウスの法則の導出

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\alpha\bigg( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\beta}&=&0^\beta\\ -\partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha\beta}-0^\beta&=&0^\beta\\ \partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha\beta}&=&0^\beta \end{eqnarray} }$

「次に、 $\beta=0$ とした場合の上の運動方程式 $\partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha\beta}=0^\beta$ の具体的な形を見てみましょう」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha0}&=&\partial_0\mathcal{F}^{00}+\partial_i\mathcal{F}^{i0}=0 \end{eqnarray} }$

「 $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ から、 $F_{00}=\partial_0 A_0-\partial_0 A_0=0$ であり、また、 $E^i=-F^{0i}=F^{i0}$ から、上の運動方程式は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_0\mathcal{F}^{00}+\partial_i\mathcal{F}^{i0}&=&0\\ \partial_iE^i&=&0 \end{eqnarray} }$

「これは、電荷密度がないときのガウスの法則 $\nabla\cdot{\bf{E}}=0$ に他なりません」

電荷密度がないときのガウスの法則： $\nabla\cdot{\bf{E}}=0$

2015-08-26

オイラー・ラグランジュ方程式からマクスウェル方程式の導出４

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\,\,\,\,\,\, \textrm{ここで、}\,\,\, F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu. \end{eqnarray} }$

「ここで、 $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ から、添字 $\mu, \nu$ を入れ替えたとき」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} F_{\nu\mu}&=&\partial_\nu A_\mu-\partial_\mu A_\nu=-(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)=-F_{\mu\nu} \end{eqnarray} }$

「となって、 $F_{\mu\nu}$ は、添字 $\mu, \nu$ の入れ替えに対して反対称となることが分かります。この関係を用いると、オイラー・ラグランジュ方程式の左辺第１項は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}&=&-\frac{1}{4}\frac{\partial\mathcal{(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\\ &=&-\frac{1}{2}\bigg(\mathcal{F}^{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg)\\ &=&-\frac{1}{2}\mathcal{F}^{\mu\nu}\big(\delta_{\mu\alpha}\delta_{\nu\beta}-\delta_{\nu\alpha}\delta_{\mu\beta}\big)\\ &=&-\frac{1}{2}\big(\mathcal{F}^{\alpha\beta}-\mathcal{F}^{\beta\alpha}\big)\\ &=&-\frac{1}{2}\big(\mathcal{F}^{\alpha\beta}+\mathcal{F}^{\alpha\beta}\big)\\ &=&-\mathcal{F}^{\alpha\beta}=\mathcal{F}^{\beta\alpha} \end{eqnarray} }$

「以上をまとめると、オイラー・ラグランジュ方程式は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\alpha\bigg( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\beta}&=&0^\beta\\ -\partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha\beta}-0^\beta&=&0^\beta\\ \partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha\beta}&=&0^\beta \end{eqnarray} }$

2015-08-25

オイラー・ラグランジュ方程式からマクスウェル方程式の導出３

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\,\,\,\,\,\, \textrm{ここで、}\,\,\, F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu. \end{eqnarray} }$

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}&=&-\frac{1}{4}\frac{\partial\mathcal{(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\\ &=&-\frac{1}{4}\bigg(\mathcal{F}_{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F^{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}+\mathcal{F}^{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg)\\ &=&-\frac{1}{2}\bigg(\mathcal{F}^{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg) \end{eqnarray} }$

「次に、上式の括弧内の微分を計算してみましょう」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}&=&\frac{\partial(\partial_\mu A_\nu)}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}-\frac{\partial(\partial_\nu A_\mu)}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\\ &=&\delta_{\mu\alpha}\delta_{\nu\beta}-\delta_{\nu\alpha}\delta_{\mu\beta} \end{eqnarray} }$

「ここで、 $\delta_{xy}$ はクロネッカーのデルタであり、 $x=y$ のとき1、 $x\neq y$ のとき0となる関数です。つまり、上式は、微分の分母と分子の添字が全て一致している場合にのみ、値が残るということになります」

クロネッカーのデルタ： $\delta_{xy}$ （ $x=y$ のとき1、 $x\neq y$ のとき0）

「したがって、オイラー・ラグランジュ方程式の左辺第１項は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}&=&-\frac{1}{4}\frac{\partial\mathcal{(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\\ &=&-\frac{1}{2}\bigg(\mathcal{F}^{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg)\\ &=&-\frac{1}{2}\mathcal{F}^{\mu\nu}\big(\delta_{\mu\alpha}\delta_{\nu\beta}-\delta_{\nu\alpha}\delta_{\mu\beta}\big)\\ &=&-\frac{1}{2}\big(\mathcal{F}^{\alpha\beta}-\mathcal{F}^{\beta\alpha}\big) \end{eqnarray} }$

2015-08-24

オイラー・ラグランジュ方程式からマクスウェル方程式の導出２

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}&=&-\frac{1}{4}\frac{\partial\mathcal{(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\\ &=&-\frac{1}{4}\bigg(\mathcal{F}_{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F^{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}+\mathcal{F}^{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg) \end{eqnarray} }$

「次に、上式第２行目の第１項目の被微分関数 $F^{\mu\nu}$ が上付きの添字となっていることから、この微分計算ができるように、計量テンソル $g$ をつかって添字を上付きから下付きに変えたいと思います」

ルール：上下に同じ添字が現れたとき、これらの添字が打ち消しあって消える
$g_{ij}A^{jk}=A_i^k$ （上下の同一の添字 $j$ が打ち消しあい、下付きの添字 $i$ と上付きの添字 $k$ が残る）

「上のルールにしたがって、添字の上下を入れ替えていきます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{F}_{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F^{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}&=&g^{\mu\rho}\mathcal{F}_{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_\rho^\nu}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\\ &=&g^{\mu\rho}g^{\nu\sigma}\mathcal{F}_{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\rho\sigma}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)} \end{eqnarray} }$

「このように、２つの計量テンソル $g^{\mu\rho}, g^{\nu\sigma}$ を用いることによって、 $F^{\mu\nu}$ の上付きの符号を下付きの符号 $F_{\rho\sigma}$ に変えることができました。ここで、さらに２つの計量テンソル $g^{\mu\rho}, g^{\nu\sigma}$ を微分の外にある $\mathcal{F}_{\mu\nu}$ に作用させてみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{F}_{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F^{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)} &=&g^{\mu\rho}g^{\nu\sigma}\mathcal{F}_{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\rho\sigma}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\\ &=&g^{\nu\sigma}\mathcal{F}^\rho_\nu\frac{\partial\mathcal{F_{\rho\sigma}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\\ &=&\mathcal{F}^{\rho\sigma}\frac{\partial\mathcal{F_{\rho\sigma}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)} \end{eqnarray} }$

「なお、上式の最後の行において、添字 $\rho, \sigma$ をそれぞれ $\mu, \nu$ に変えても一般性は失われません。すると結局、次の式が成り立つことがわかります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{F}_{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F^{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)} &=&\mathcal{F}^{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)} \end{eqnarray} }$

「この関係式を一番最初の式に代入すると、次のようになることがわかります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}&=&-\frac{1}{4}\frac{\partial\mathcal{(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\\ &=&-\frac{1}{4}\bigg(\mathcal{F}_{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F^{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}+\mathcal{F}^{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg)\\ &=&-\frac{1}{4}\bigg(\mathcal{F}^{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}+\mathcal{F}^{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg)\\ &=&-\frac{1}{2}\bigg(\mathcal{F}^{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg) \end{eqnarray} }$

2015-08-21

テンソルの添字を上げ下げする方法

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\mu\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\beta}&=&0 \end{eqnarray} }$

「次に、上式の左辺第１項を計算してみましょう」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\,\,\,\,\,\, \textrm{ここで}\,\,\, F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu. \end{eqnarray} }$

「上のラグランジアン密度 $\mathcal{L}$ を上式の左辺第１項の大括弧（）内に代入してみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}&=&-\frac{1}{4}\frac{\partial\mathcal{(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\\ &=&-\frac{1}{4}\bigg(\mathcal{F}_{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F^{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}+\mathcal{F}^{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg) \end{eqnarray} }$

「上の計算において、１行目から２行目の変形に積の微分法則 $\partial(uv)=u\partial(v)+v\partial(u)$ を用いました。また、上式第２行目の第１項目の被微分関数 $F^{\mu\nu}$ が上付きの添字となっていることから、この微分計算ができるように、添字を下付きに変えたいと思います。ここで、添字の上げ下げには、計量テンソル $g$ を使います。例えば、上付きの添字を下付きに変えたい場合、次のような下付きの添字が２つ付いた計量テンソルをかけます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} g_{ij}A^j=A_i \end{eqnarray} }$

「これは、計量テンソルの下付きの添字 $j$ が $A$ の上付きの添字 $j$ と打ち消しあって、下付きの添字 $i$ だけが残ったとイメージすると覚えやすいと思います」

覚え方：上下に同じ添字が現れたとき、これらの添字が打ち消しあって消える

「逆に、下付きの添字を上付きに変えたい場合は、次のような上付きの添字が２つ付いた計量テンソルをかけます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} g^{ij}B_i=B^j \end{eqnarray} }$

「この場合も、計量テンソルの上付きの添字 $i$ が $B$ の下付きの添字 $i$ と打ち消しあって、上付きの添字 $j$ だけが残ったとイメージできます。また、高次のテンソルの場合も同様に、計量テンソルを使って添字の上下を変えることがえきます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} g_{ij}C^{jk}=C_i^k \end{eqnarray} }$

「上の場合、計量テンソルの下付きの添字 $j$ が $C$ の上付きの添字 $j$ と打ち消しあって、下付きの添字 $i$ と上付きの添字 $k$ だけが残ったとイメージできます」

2015-08-20

オイラー・ラグランジュ方程式からマクスウェル方程式の導出１

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\,\,\,\,\,\, \textrm{where}\,\,\, F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu. \end{eqnarray} }$

「上のラグランジアン密度 $\mathcal{L}$ を場の運動を表すオイラー・ラグランジュ方程式に代入することで、運動方程式を導くことができます」

オイラー・ラグランジュ方程式（場の方程式）
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\mu\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\bigg)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}&=&0 \end{eqnarray} }$
(2.3)

「ただし、ここでは場 $\phi$ の代わりに、要素 $A_\mu(x)$ を力学変数として扱います」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\mu\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\bigg)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\nu}&=&0 \end{eqnarray} }$

「ここで、オイラー・ラグランジュ方程式の添字 $\mu, \nu$ は、ラグランジアン密度 $\mathcal{L}$ の添字 $\mu, \nu$ とは異なることに注意してください。そこで、これを明確にするため、オイラー・ラグランジュ方程式の添字を $\alpha, \beta$ と書くことにします」