テンソルの添字を上げ下げする方法 - スーパーサイエンスガール

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\mu\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\beta}&=&0 \end{eqnarray} }$

「次に、上式の左辺第１項を計算してみましょう」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\,\,\,\,\,\, \textrm{ここで}\,\,\, F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu. \end{eqnarray} }$

「上のラグランジアン密度 $\mathcal{L}$ を上式の左辺第１項の大括弧（）内に代入してみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}&=&-\frac{1}{4}\frac{\partial\mathcal{(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\\ &=&-\frac{1}{4}\bigg(\mathcal{F}_{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F^{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}+\mathcal{F}^{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg) \end{eqnarray} }$

「上の計算において、１行目から２行目の変形に積の微分法則 $\partial(uv)=u\partial(v)+v\partial(u)$ を用いました。また、上式第２行目の第１項目の被微分関数 $F^{\mu\nu}$ が上付きの添字となっていることから、この微分計算ができるように、添字を下付きに変えたいと思います。ここで、添字の上げ下げには、計量テンソル $g$ を使います。例えば、上付きの添字を下付きに変えたい場合、次のような下付きの添字が２つ付いた計量テンソルをかけます」