重心系で考えることのメリット - スーパーサイエンスガール

散乱の微小確率： $d\Gamma=\frac{T|M|^2}{64\pi^2V E_kE_k^\prime E_p E_p^\prime}\delta^4({\bf{k}}+{\bf{k}^\prime}-{\bf{p}}-{\bf{p}^\prime})d^3{\bf{k}} d^3{\bf{k}^\prime}$

「積分変数が多いので、少し整理しましょう。運動量の積分変数としては、ミュー粒子 $\mu^-$ の運動量の積分変数 $d^3{\bf{k}}$ と反ミュー粒子 $\mu^+$ の運動量の積分変数 $d^3{\bf{k}}^\prime$ の２種類がありますが、今は重心系を考えているので、ミュー粒子 $\mu^-$ の運動量 $\bf{k}$ と反ミュー粒子 $\mu^+$ の運動量 $\bf{k}^\prime$ との間には、 $\bf{k}^\prime=-\bf{k}$ の関係があります。それゆえ、ミュー粒子 $\mu^-$ の運動量 $\bf{k}$ が決まれば、反ミュー粒子 $\mu^+$ の運動量 $\bf{k}^\prime$ も自動的に決まるため、上の散乱の微小確率 $d\Gamma$ の式は、反ミュー粒子 $\mu^+$ の運動量の積分変数 $d^3{\bf{k}}^\prime$ を省略して、ミュー粒子 $\mu^-$ の運動量の積分変数 $d^3{\bf{k}}$ のみであらわすことができます」

重心系の運動量を考える（ $\bf{k}^\prime=-\bf{k}$ ）
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ミュー粒子 $\mu^-$ の運動量 $\bf{k}$ が決まれば、反ミュー粒子 $\mu^+$ の運動量 $\bf{k}^\prime$ も自動的に決まる
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反ミュー粒子 $\mu^+$ の運動量の積分変数 $d^3{\bf{k}}^\prime$ を省略できる

「また、重心系においては、 $\bf{p}^\prime=-\bf{p}, \bf{k}^\prime=-\bf{k}$ の関係から ${\bf{k}}+{\bf{k}^\prime}-{\bf{p}}-{\bf{p}^\prime}=0$ が成り立つため、デルタ関数 $\delta^4({\bf{k}}+{\bf{k}^\prime}-{\bf{p}}-{\bf{p}^\prime})$ のうち、３次元の運動量部分については満たされます。それゆえ、４元運動量のうち、エネルギーのデルタ関数のみが残ります」

重心系では、 $\bf{p}^\prime=-\bf{p}, \bf{k}^\prime=-\bf{k}$ の関係から ${\bf{k}}+{\bf{k}^\prime}-{\bf{p}}-{\bf{p}^\prime}=0$ が成り立つため、 $\delta^4({\bf{k}}+{\bf{k}^\prime}-{\bf{p}}-{\bf{p}^\prime})$ のうち、３次元の運動量のデルタ関数は満たされる
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エネルギーのデルタ関数 $\delta(E_k+E_k^\prime-E_p-E_p^\prime)$ のみが残される