相対論的な粒子の確率振幅 - スーパーサイエンスガール

「次は、相対論的な粒子の確率振幅について考えてみます。相対論的な粒子のエネルギーは、アインシュタインの関係式から $E=\sqrt{p^2+m^2}$ の形にかけるので、この値をハミルトニアンに代入すると、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} U(t)&=&\langle \bf{x}\mid e^{-it\sqrt{p^2+m^2}} \mid \bf{x}_0\rangle\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\langle \bf{x}\mid e^{-it\sqrt{p^2+m^2}} \mid\bf{p}\rangle\langle\bf{p}\mid \bf{x}_0\rangle\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{-it\sqrt{p^2+m^2}} \langle {\bf{x}}\mid{\bf{p}}\rangle\langle{\bf{p}}\mid {{\bf{x}}}_0\rangle\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{-it\sqrt{p^2+m^2}} \cdot e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}\cdot e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}_0}\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{-it\sqrt{p^2+m^2}} \cdot e^{i{\bf{p}}\cdot{(\bf{x}-\bf{x}_0)}}\\ \end{eqnarray} }$

「ここで、１行目から２行目の式変形には、積分による完備関係式 $1=\int d^3p \frac{1 }{(2\pi)^3}\mid\bf{p}\rangle\langle\bf{p}\mid$ を用い、また、３行目から４行目の式変形には、x-表示からp-表示への変換関数を用いました。次に、体積積分を計算するために、極座標系への積分変換を行います」

極座標系への積分変換
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \int d^3r&=&\int_0^\infty dr\int_0^\pi rd\theta \int_0^{2\pi} r\sin{\theta} d\phi\\ &=&\int_0^\infty r^2dr\int_0^\pi \sin{\theta}d\theta \int_0^{2\pi} d\phi\\ &=&2\pi\int_0^\infty r^2dr\int_0^\pi \sin{\theta}d\theta\\ \end{eqnarray} }$

「極座標（球座標）系は、下図に示すように、原点Oから外側に伸びる動径方向の長さrと、水平方向の偏角 $\phi$ と、垂直方向の偏角 $\theta$ によって、表されます」

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「上図に示すように、動径方向の長さ、水平方向の偏角、垂直方向の偏角の微小な長さは、それぞれ $dr, r\sin{\theta}d\phi, rd\theta$ で表されるので、これらについて、振幅U(t)を積分します。また、内積 ${\bf{p}}\cdot({\bf{x}}-{\bf{x}}_0)$ が $p|{\bf{x}}-{\bf{x}}_0|\cos{\theta}$ と表されることに注意すると、振幅U(t)の積分は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} U(t)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{-it\sqrt{p^2+m^2}} \cdot e^{i{\bf{p}}\cdot{(\bf{x}-\bf{x}_0)}}\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{-it\sqrt{p^2+m^2}} \cdot e^{ip|{\bf{x}}-{\bf{x}}_0|\cos{\theta}}\\ &=&\frac{1}{(2\pi)^2}\int_0^\infty dp\, pe^{-it\sqrt{p^2+m^2}}\int_0^\pi d\theta\, e^{ip\mid {\bf{x}}-{\bf{x}}_0\mid\cos{\theta}}\sin{\theta}\\ \end{eqnarray} }$

「ここで、 $\xi=\cos{\theta}$ （ $\xi$ はギリシャ文字で『グザイ』または『グジー』と呼びます）とおくと、 $\frac{d\xi}{d\theta}=-\sin{\theta}$ となるため、 $\cos{\theta}\rightarrow \xi, \sin{\theta}d\theta\rightarrow -d\xi$ と置き換えると、 $\theta$ の積分は、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \int_0^\pi d\theta\, e^{ip\mid {\bf{x}}-{\bf{x}}_0\mid\cos{\theta}}\sin{\theta} &=&-\int_1^{-1} d\xi\, e^{ip\mid {\bf{x}}-{\bf{x}}_0\mid\xi}\\ &=&\int_{-1}^{1} d\xi\, e^{ip\mid {\bf{x}}-{\bf{x}}_0\mid\xi}\\ &=&\frac{1}{ip|{\bf{x}}-{\bf{x}}_0|}\bigg[e^{ip\mid {\bf{x}}-{\bf{x}}_0\mid\xi}\bigg]_{-1}^1\\ &=&\frac{1}{ip|{\bf{x}}-{\bf{x}}_0|}\big(e^{ip\mid {\bf{x}}-{\bf{x}}_0\mid}-e^{-ip\mid {\bf{x}}-{\bf{x}}_0\mid}\big)\\ &=&\frac{2}{p|{\bf{x}}-{\bf{x}}_0|}\sin{(p|{\bf{x}}-{\bf{x}}_0|)}\\ \end{eqnarray} }$

「なお、最後の式変形には、オイラーの公式 $\sin{z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ を用いました」

オイラーの公式
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \sin{z}&=&\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \end{eqnarray} }$

「したがって、相対論的な粒子の確率振幅U(t)は、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} U(t)&=&\frac{1}{2\pi^2{|\bf{x}}-{\bf{x}}_0|}\int_0^\infty dp\, p\sin{(p|{\bf{x}}-{\bf{x}}_0|)}e^{-it\sqrt{p^2+m^2}}\\ \end{eqnarray} }$