n粒子状態のエネルギー - スーパーサイエンスガール

「次に、交換子 $H_\textrm{SHO}, a^\dagger$ を計算してみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [H_\textrm{SHO}, a^\dagger]&=&\bigg[ \omega \bigg(a^\dagger a+\frac{1}{2}\bigg), a^\dagger\bigg]\\ &=&\omega \bigg(a^\dagger a+\frac{1}{2}\bigg)a^\dagger-a^\dagger\omega \bigg(a^\dagger a+\frac{1}{2}\bigg)\\ &=&\omega a^\dagger(aa^\dagger-a^\dagger a)\\ &=&\omega a^\dagger \end{eqnarray} }$

「ここで、最後の式において、(2.24)式の関係を用いました」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [a, a^\dagger]=1. \end{eqnarray} }$
(2.24)

「また、交換子 $H_\textrm{SHO}, a$ についても同様に計算します」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [H_\textrm{SHO}, a]&=&\bigg[ \omega \bigg(a^\dagger a+\frac{1}{2}\bigg), a\bigg]\\ &=&\omega \bigg(a^\dagger a+\frac{1}{2}\bigg)a-a\omega \bigg(a^\dagger a+\frac{1}{2}\bigg)\\ &=&\omega (a^\dagger a -aa^\dagger)a\\ &=&-\omega a \end{eqnarray} }$

「以上の計算から、次の関係が得られました」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [H_\textrm{SHO}, a^\dagger]&=&\omega a^\dagger\\ [H_\textrm{SHO}, a]&=&-\omega a\\ \end{eqnarray} }$

「ここで、n粒子状態 $\mid n\rangle\equiv(a^\dagger)^n\mid 0\rangle$ を考えてみます。これは、真空状態 $\mid 0\rangle$ にn回生成演算子 $a^\dagger$ を作用させて、真空からn個の粒子が生成された状態と考えることができます」

n粒子状態 $\mid n\rangle\equiv(a^\dagger)^n\mid 0\rangle$ ：真空からn個の粒子が生成された状態

「このn粒子状態 $\mid n\rangle\equiv(a^\dagger)^n\mid 0\rangle$ の左側から、ハミルトニアン $H_\textrm{SHO}$ を作用させてみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H_\textrm{SHO}\mid n\rangle&=&H_\textrm{SHO}(a^\dagger)^n\mid 0\rangle \end{eqnarray} }$

「ここで、交換関係 $[H_{\textrm{SHO}}, a^\dagger]= H_{\textrm{SHO}}a^\dagger- a^\dagger H_{\textrm{SHO}}=\omega a^\dagger$ を用いると、次の関係が成り立ちます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H_{\textrm{SHO}}a^\dagger&=& a^\dagger H_{\textrm{SHO}}+\omega a^\dagger \end{eqnarray} }$

「そこで、この関係式を $H_\textrm{SHO}\mid n\rangle$ の式に次々と代入していきます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H_\textrm{SHO}\mid n\rangle&=&H_\textrm{SHO}(a^\dagger)^n\mid 0\rangle\\ &=&( a^\dagger H_{\textrm{SHO}}+\omega a^\dagger) (a^\dagger)^{n-1}\mid 0\rangle\\ &=&a^\dagger(H_{\textrm{SHO}}+\omega)(a^\dagger)^{n-1}\mid0\rangle\\ &=& a^\dagger(H_{\textrm{SHO}} \{a^\dagger)^{n-1}+\omega(a^\dagger)^{n-1}\}\mid0\rangle\\ &=& a^\dagger\{H_{\textrm{SHO}} (a^\dagger)^{n-1}+\omega(a^\dagger)^{n-1}\}\mid0\rangle\\ &=& a^\dagger[\{a^\dagger H_{\textrm{SHO}}+\omega a^\dagger)\}(a^\dagger)^{n-2}+\omega(a^\dagger)^{n-1}]\mid0\rangle\\ &=& a^\dagger[\{a^\dagger H_{\textrm{SHO}}+\omega a^\dagger)\}(a^\dagger)^{n-2}+\omega(a^\dagger)^{n-1}]\mid0\rangle\\ &=&(a^\dagger)^2(H_{\textrm{SHO}}+2\omega)(a^\dagger)^{n-2}\mid0\rangle\\ &=&(a^\dagger)^3(H_{\textrm{SHO}}+3\omega)(a^\dagger)^{n-3}\mid0\rangle\\ &=&\cdots\\ &=&(a^\dagger)^n(H_{\textrm{SHO}}+n\omega)\mid0\rangle\\ &=&(a^\dagger)^n\bigg(\frac{1}{2}\omega+n\omega\bigg)\mid0\rangle\\ &=&(a^\dagger)^n\bigg(n+\frac{1}{2} \bigg)\omega\mid0\rangle\\ &=& \bigg(n+\frac{1}{2} \bigg)\omega(a^\dagger)^n \mid0\rangle\\ &=& \bigg(n+\frac{1}{2} \bigg) \mid n\rangle\\ \end{eqnarray} }$

「ここで、 $H_{\textrm{SHO}}\mid 0\rangle=\frac{1}{2}\omega$ （ゼロ点エネルギー）の関係式を用いました。以上の計算から、結局、ハミルトニアン $H_{\textrm{SHO}}$ のn粒子状態 $\mid n\rangle$ に対する固有値は、 $\big(n+\frac{1}{2}\big)\omega$ となることがわかります。これから、n粒子状態のエネルギーは、真空の零点エネルギー $\frac{1}{2}\omega$ に、n粒子ｎのエネルギー $n\omega$ を足し合わせたものであることがわかります」

n粒子状態のエネルギー：真空の零点エネルギー $\frac{1}{2}\omega$ に、n粒子ｎのエネルギー $n\omega$ を足し合わせたもの