クライン-ゴルドン場とその運動量密度の生成・消滅演算子による表現

「これまで説明したのと同じテクニックを用いて、クライン-ゴルドンハミルトニアンのスペクトルを導くことができますが、ここでは、場の各フーリエモードは、それ自体、生成演算子 $a^\dagger$ と消滅演算子 $a$ をもった独立な振動子として扱います。ここで、(2.23)式との類似性から、クライン-ゴルドン場 $\varphi({\bf{x}})$ およびその運動量密度 $\pi({\bf{x}})$ は、次のように書くことが出来ることが分かります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi=\frac{1}{\sqrt{2\omega}}(a+a^\dagger)\textrm{;}\,\,\,\,\,\,\,\, p=-i\sqrt{\frac{\omega}{2}}(a-a^\dagger). \end{eqnarray} }$
(2.23)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big); \end{eqnarray} }$
(2.25)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \pi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}(-i)\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{2}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}-a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big). \end{eqnarray} }$
(2.26)

「ちなみに上の関係は、古典的なクライン−ゴルドン場 $\phi({\bf{x}},t)$ が、次のようにフーリエ級数で表すことができることからも類推できます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}},t)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}\phi({\bf{p}}, t) \end{eqnarray} }$

「ここで、(2.25)式と(2.26)式から、 $a_{p}, a^\dagger_p$ を $\varphi, \pi$ に関する式として簡単に導くこともできますが、これはめったに必要とはされません。また、(2.25)式と(2.26)式は、右辺の第２項を ${\bf{p}}\rightarrow-{\bf{p}}$ と置換することにより、次のように書き換えることもできます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big) e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}; \end{eqnarray} }$
(2.27)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \pi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}(-i)\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{2}}\big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}. \end{eqnarray} }$
(2.28)