位置xの固有状態の相対論的な表式 - スーパーサイエンスガール

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}(2\pi)\delta(p^2-m^2)\big|_{p^0>0} \end{eqnarray} }$
(2.40)

「(2.40)式の積分は、f(p)がローレンツ不変なら、 $\int d^3pf(p)/(2E_p)$ もローレンツ不変になるという意味において、ローレンツ不変の３元運動量の積分です。この積分は、図2.2に示されるように、４元運動量空間における双曲面 $p^2=m^2$ の $p^0>0$ 分枝上にあるものと考えられます」

図2.2 ローレンツ不変３元運動量の積分は、双曲面 $p^2=m^2$ の $p^0>0$ 分枝上にある

「そして最後に、状態 $\phi(x)|0\rangle$ の解釈を考えてみます。(2.25)の展開式から、次の(2.41)式が成り立つことが分かります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big); \end{eqnarray} }$
(2.25)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}})\mid 0\rangle&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}\big)\mid 0\rangle\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}a_{\bf{p}}^{\dagger}\mid 0\rangle\,\,\, (\because a_{\bf{p}}\mid 0\rangle=0\mid 0\rangle) \\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}} e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}\mid {\bf{p}}\rangle \end{eqnarray} }$
(2.41)

「(2.41)式は、うまく定義された（well-defined）運動量を有する単一粒子状態の線形の重ね合わせとなっています。 $1/\sqrt{2E_p}$ の係数を除き、(2.41)式は、位置 $|x\rangle$ の固有状態のなじみのある非相対論的な表現と同一のものです」
「なるほど、相対論だと $1/\sqrt{2E_p}$ の係数がつくというわけか」
「また、Einsteinの関係式 $E_{\bf{p}}=\sqrt{|p|^2+m^2}$ から、この余分な係数 $1/\sqrt{2E_p}$ は、小さいpに対しては $1/\sqrt{2E_p}\sim1/(\sqrt{2}m)$ となって、ほぼ一定となるため、非相対論的な式と一致することがわかります」