クライン-ゴルドン方程式の導出 - スーパーサイエンスガール

${ \displaystyle \begin{eqnarray} a^\mu b_\mu=g_{\mu\nu}a^{\mu}b^{\nu}=\Sigma_{\mu, \nu=0}^{3}g_{\mu\nu}a^{\mu}b^{\nu} \end{eqnarray} }$

「ここで、上のような上付きの添字と下付きの添字がセットになったものは、『内積』を表し、ローレンツ変換に対して不変な量となることが知られています。また、ラグランジアン $\mathcal{L}$ もローレンツ変換に対して不変な量なので、その運動項は、実際には次のように上付きの添字 $\mu$ と下付きの添字 $\mu$ がセットになっています」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}&=&\frac{1}{2}\dot{\phi}^2-\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2\\ &=&\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2\\ &=&\frac{1}{2}(\partial^\mu\phi)(\partial_\mu\phi)-\frac{1}{2}m^2\phi^2 \end{eqnarray} }$
(2.6)

「これから、次のようなオイラー・ラグランジュ方程式が導かれます」

オイラー・ラグランジュ方程式
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\mu\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\bigg)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} &=&\partial_\mu(\partial^\mu\phi)-(-m^2\phi)\\ &=&(\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\phi\\ &=&0 \end{eqnarray} }$

「ここで、上付きの添字 $\mu$ と下付きの添字 $\mu$ がセットになったものは、互いに入れ替え可能であることに注意してください。２行目の式の右辺の第１項は、４次元時空の２階微分、すなわち、時間 $t$ と空間 $x, y, z$ の２階微分をとって和をとったものに相当します。ただし、前回説明したように、時間 $t$ と空間 $x, y, z$ は負の関係で結ばれています。このオイラー・ラグランジュ方程式は、次のような形に書くこともできます」

オイラー・ラグランジュ方程式
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \bigg(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+m^2\bigg)\phi=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\, \textrm{or} \,\,\, \,\,\,\,\,\, (\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\phi=0 \end{eqnarray} }$

「 $\nabla$ は『ナブラ（nabla）』と呼ばれ、３次元空間の場合、次のように表されます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \nabla&=&\bigg(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\bigg) \end{eqnarray} }$

「そして、 $\nabla^2$ は、 $\nabla$ の内積をとったものであり、ラプラシアン（Laplacian）とも呼ばれ（記号は $\Delta$ ）、３次元空間の場合、次のように表されます」

ラプラシアン（Laplacian）
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \Delta&=&\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} \end{eqnarray} }$

「実は、このようにして導かれたオイラー・ラグランジュ方程式は、『クライン−ゴルドン（Klein-Gordon）方程式』としても知られています」

クライン・ゴルドン（Klein-Gordon）方程式
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \bigg(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+m^2\bigg)\phi=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\, \textrm{or} \,\,\, \,\,\,\,\,\, (\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\phi=0 \end{eqnarray} }$

「クライン−ゴルドン方程式？」
「クライン−ゴルドン方程式は、スピン0の相対論的な自由場 $\phi$ （クライン−ゴルドン場）が満たす波動方程式です」