クライン‐ゴルドン場の交換関係の変形３ - スーパーサイエンスガール

${ \displaystyle \begin{eqnarray} D_R(x-y)\equiv \theta(x^0-y^0)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle. \end{eqnarray} }$
(2.55)

「ここで、(2.55)式の量を理解するために、 $(\partial^2+m^2)D_R(x-y)$ を計算してみましょう。ちなみに、この計算は、 $D_R(x-y)$ に(2.7)式のクライン‐ゴルドン方程式の演算子 $(\partial^\mu\partial_\mu+m^2)$ を作用させるのと同じ計算です」

クライン‐ゴルドン方程式
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \bigg(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+m^2\bigg)\phi=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\, \textrm{or} \,\,\, \,\,\,\,\,\, (\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\phi=0 \end{eqnarray} }$
(2.7)

「最初に、(2.55)式に基づいて、 $\partial^\mu D_R(x-y)$ を計算してみます。微分公式 $\partial^\mu(fg)=(\partial^\mu f)g+f(\partial^\mu g)$ を用いると、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial^\mu D_R(x-y)&=&\partial^\mu\theta(x^0-y^0)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle+\theta(x^0-y^0)\partial^\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle \end{eqnarray} }$

「上式をさらに $\partial_\mu$ で微分します。上式の各項に微分公式 $\partial^\mu(fg)=(\partial^\mu f)g+f(\partial^\mu g)$ を適用すると、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial^\mu\partial_\mu D_R(x-y)&=&\big(\partial^\mu\partial_\mu\theta(x^0-y^0)\big)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\ &+&\big(\partial^\mu\theta(x^0-y^0)\big)\big(\partial_\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\big)\\ &+&\big(\partial_\mu\theta(x^0-y^0)\big)\big(\partial^\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\big)\\ &+&\theta(x^0-y^0)\big(\partial^\mu\partial_\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\big)\\ &=&\big(\partial^\mu\partial_\mu\theta(x^0-y^0)\big)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\ &+&2\big(\partial^\mu\theta(x^0-y^0)\big)\big(\partial_\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\big)\\ &+&\theta(x^0-y^0)\partial^\mu\partial_\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle \end{eqnarray} }$

「一方、(2.55)式から $m^2 D_R(x-y)$ は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} m^2 D_R(x-y) &=&\theta(x^0-y^0)m^2\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle \end{eqnarray} }$

「最後に、上の $\partial^\mu\partial_\mu D_R(x-y)$ の式と $m^2 D_R(x-y)$ の式を足し合わせると、 $(\partial^2+m^2)D_R(x-y)$ は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} (\partial^\mu\partial_\mu+m^2) D_R(x-y) &=&\big(\partial^\mu\partial_\mu\theta(x^0-y^0)\big)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\ &+&2\big(\partial^\mu\theta(x^0-y^0)\big)\big(\partial_\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\big)\\ &+&\theta(x^0-y^0)(\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle \end{eqnarray} }$