古典的なクライン−ゴルドン場の方程式の導出

クライン−ゴルドン方程式
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \bigg(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+m^2\bigg)\phi=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\, \textrm{or} \,\,\, \,\,\,\,\,\, (\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\phi=0 \end{eqnarray} }$
(2.7)

「ここで、(2.7)式に前回導いた古典的なクライン−ゴルドン場の式を代入します」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}},t)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}\phi({\bf{p}}, t) \end{eqnarray} }$

「すると、(2.7)式のクライン−ゴルドン方程式は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \bigg[\frac{\partial^2}{\partial t^2}-(\mid{\bf{p}}\mid^2+m^2)\bigg]\phi({\bf{p}}, t)=0. \end{eqnarray} }$
(2.21)

「これは、古典的なクライン−ゴルドン場の方程式です」
「ちょっと待って。どうして、 $\nabla^2$ から $\mid{\bf{p}}\mid^2$ が出てくるのよ？」
「以前お話したように、 $\nabla^2$ は、ラプラシアンであり、３次元空間の場合、次のように定義されます」

ラプラシアン（Laplacian）
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \Delta&=&\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} \end{eqnarray} }$

「ラプラシアンは、座標 $x, y, z$ を有する項のみに作用するため、クライン−ゴルドン場の座標を含む $e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}$ の項のみに作用します。ここで、 ${\bf{p}}\cdot{\bf{x}}=p_x x+p_y y+ p_z z$ であることに注意して、ラプラシアンのxの２回微分の項のみを計算してみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial^2}{\partial x^2}e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}&=&\frac{\partial^2}{\partial x^2}\textrm{exp}\{i(p_x x+p_y y+ p_z z)\}\\ &=&(ip_x)^2\textrm{exp}\{i(p_x x+p_y y+ p_z z)\}\\ &=&(ip_x)^2e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}\\ &=&-p_x^2e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}} \end{eqnarray} }$

「また、他の座標 $y, z$ についても同様に計算できます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial^2}{\partial y^2}e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{y}}}&=&-p_y^2e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}\\ \frac{\partial^2}{\partial z^2}e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{z}}}&=&-p_z^2e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}} \end{eqnarray} }$

「それゆえ、ラプラシアンを $e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}$ に作用させた結果は、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \nabla^2e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}&=&\bigg(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\bigg)e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}\\ &=&-(p_x^2+p_y^2+p_z^2)e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}\\ &=&-\mid{\bf{p}}\mid^2e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}} \end{eqnarray} }$