エネルギー・運動量テンソルを対称的にする方法3

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{\mu\nu} &=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}F^\nu_{\,\,\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu} \end{eqnarray} }$

「上のエネルギー・運動量テンソルの式において、添字 $\mu, \nu$ を入れ替えた式が対称的となっているか調べてみましょう」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{\nu\mu}&=&\mathcal{F}^{\lambda\nu}F^\mu_{\,\,\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\nu\mu}\\ &=&(-\mathcal{F}^{\nu\lambda})(-F^{\,\,\mu}_\lambda)-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\ &=&\mathcal{F}^{\nu\lambda}F^{\,\,\mu}_\lambda-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\ &=&F^{\,\,\mu}_\lambda\mathcal{F}^{\nu\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu} \end{eqnarray} }$

「ここで、 $-\mathcal{F}^{\alpha\beta}=\mathcal{F}^{\beta\alpha}$ および $\delta^{\nu\mu}=\delta^{\mu\nu}$ の関係を用いました。次に、各項の添字 $\lambda$ を上げ下げします。それには、各項に計量テンソル $g_{\lambda\lambda}, g^{\lambda\lambda}$ をかけます」
「ちょっと、勝手に計量テンソルをかけてもいいの？」
　一宮が胡散臭そうな目で越野さんを見た。
「その点なら問題ありません。計量テンソル $g^{ik}$ と $g_{jk}$ は逆行列の関係にあり、次の関係が成り立ちます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} g^{ik}g_{jk}=\delta^i_j \end{eqnarray} }$

「ここで、 $\delta^i_j$ はクロネッカーのデルタで、 $i=j$ のとき１、 $i\neq j$ のとき０となる関数です。このとき、 $i=j=k=\lambda$ とすれば、次の関係式を導くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} g^{\lambda\lambda}g_{\lambda\lambda}=\delta^\lambda_\lambda=1 \end{eqnarray} }$

「したがって、式に $1=g^{\lambda\lambda}g_{\lambda\lambda}$ を自由にかけることができます。そこで、エネルギー・運動量テンソルの式の各項に計量テンソル $g_{\lambda\lambda}, g^{\lambda\lambda}$ をかけて、各項の添字 $\lambda$ を上げ下げすると、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{\nu\mu}&=&F^{\,\,\mu}_\lambda\mathcal{F}^{\nu\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\ &=&F^{\,\,\mu}_\lambda\mathcal{F}^{\nu\lambda}\times 1-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\ &=&F^{\,\,\mu}_\lambda\mathcal{F}^{\nu\lambda}\times g^{\lambda\lambda}g_{\lambda\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\ &=&(F^{\,\,\mu}_\lambda g^{\lambda\lambda})(\mathcal{F}^{\nu\lambda}g_{\lambda\lambda})-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\ &=&F^{\lambda\mu}\mathcal{F}^\nu_{\,\,\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu} \end{eqnarray} }$