エネルギー・運動量テンソルの式から電磁気の運動量密度の式の導出

「次に、運動量密度の関係式を求めてみましょう。場によって運ばれる（物理的な）運動量は、次の(2.19)式のように表せることは以前お話しました」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} P^i=\int T^{0i}d^3x=-\int \pi\partial_i\phi d^3x, \end{eqnarray} }$
(2.19)

「そこで、エネルギー・運動量テンソル $\hat{T}^{\mu\nu}$ において、添字 $\mu=0, \nu=i$ とした場合の計算をしてみましょう」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{\mu\nu} &=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}F^\nu_{\,\,\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu} \end{eqnarray} }$

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{0i} &=&\mathcal{F}^{\lambda 0}F^i_{\,\,\lambda}-\mathcal{L}\delta^{0i}\\ &=&\mathcal{F}^{\lambda 0}F^i_{\,\,\lambda} \end{eqnarray} }$

「上の１行目から２行目の式変形には、クロネッカーのデルタ $\delta_{ij}$ において、 $i\neq j$ のとき0になるという関係を用いました。さらに、 $\lambda=j(\neq0)$ として、計算を進めてみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{0i} &=&\mathcal{F}^{\lambda 0}F^i_{\,\,\lambda}\\ &=&\mathcal{F}^{j0}F^i_{\,\,j}\\ &=&\mathcal{F}_j^{\,\,0}F^{ij}\\ &=&\mathcal{F}_{\,\, j}^{0}F^{ji}\\ \end{eqnarray} }$

「上式２行目から３行目への式変形において、エネルギー・運動量テンソルの式の各項に計量テンソル $1=g_{jj}g^{jj}$ をかけて、各項の添字 $j$ を上げ下げしました。また、最後の行の式変形において、 $-\mathcal{F}^{\alpha\beta}=\mathcal{F}^{\beta\alpha}$ の関係を用いました。最後に、 $E_ j=F^0_{\,\,j}$ の関係および $\epsilon^{ijk}B^k=F^{ji}$ の関係を代入し、レヴィ=チヴィタ記号の外積の定義を用いると、次のようになります」